CFDシミュレーションの一般的な離散化スキームの欠点

先日、私の計算流体力学のインストラクターは欠席し、彼は彼の代わりに博士号の候補者を送りました。彼が行った講義で、彼は、流体シミュレーションのさまざまな離散化スキームに関連するいくつかの欠点を示しているように見えました。

有限差分法： 保存を満たし、不規則な形状に適用することは困難です

有限体積法： エッジおよび1次元の物理に向かって偏る傾向があります。

有限要素法： FEMを使用して双曲線方程式を解くことは困難です。

不連続ガラーキン： それはすべての世界の中で最高（そして最悪）です。

変動分割： それらはまだ広く適用されていません。

講義の後、私は彼にどこでこの情報を入手したのか尋ねましたが、彼はソースを特定しませんでした。私はまた、DGが「すべての世界で最高の最悪」であることによって彼が何を意味するのかを彼に明らかにさせようとしましたが、明確な答えを得ることができませんでした。私は彼が彼自身の経験からこれらの結論に達したと仮定することができます。

私自身の経験から、FDMは不規則な形状に適用するのが難しいという最初の主張しか検証できません。他のすべてのクレームについては、それらを検証するのに十分な経験がありません。これらの「デメリット」が一般的なCFDシミュレーションにとってどれほど正確であるか興味があります。

提案された特性は、それらが大衆の意見を大まかに表しているという意味で合理的です。この質問には大きな範囲があるため、ここでいくつかの観察を行います。コメントに応じて詳しく説明できます。関連する詳細な議論については、有限差分と有限要素の間で選択する基準は何ですか？を参照してください。

• 非構造化グリッドでは、低次の保守的な有限差分法をすぐに使用できます。高次の非振動FDメソッドは別の問題です。有限差分WENOスキームでは、物理はすべてのリーマンソルバーで利用できるわけではない磁束分割に現れます。

• 有限体積法は複数の次元でうまく機能しますが、一般的な流れ構造の2次よりも高くするには、追加の面直角点および/または横方向リーマン解析が必要であり、FD法に比べてコストが大幅に増加します。ただし、これらのFVメソッドは、滑らかで構造化されていないメッシュに適用でき、任意のリーマンソルバーを使用できます。

• 連続有限要素法はCFDに使用できますが、安定化はデリケートになります。厳密に非振動の方法を使用することは通常実用的ではなく、安定化にはエントロピーなどの追加情報が必要になることがよくあります。一貫性のある質量行列を使用すると、明示的な時間ステッピングがはるかに高価になります。連続ガラーキン法は局所的に保守的ではなく、強い衝撃に対して問題を引き起こします。参照してください偏微分方程式を解く際にローカルの保全が重要なのはなぜ？

• 不連続ガラーキン法では、任意のリーマンソルバーを使用して要素を接続できます。他の一般的な方法よりも優れた固有の非線形安定性を備えています。DGも実装がかなり複雑で、通常、要素内で単調ではありません。DGには、積極性または最大の原則を保証するリミッターがあります。

• スペクトル差分（例：Wang et al 2007またはLiang et al 2009）など、他の方法もあります（有限差分など）。

高レイノルズ数の流れには薄い境界層があり、効率的に解くには高度に異方性の要素が必要です。非圧縮性またはほぼ非圧縮性の要素の場合、これは多くの離散化で重大な問題を引き起こします。主に有限要素法の観点からの追加の説明については、非等方性境界メッシュを使用した非圧縮性流れに対してどのような空間離散化が機能するかを参照してください。

安定した問題の場合、非線形マルチグリッド（FAS）を効率的に使用できることが魅力です。一般的に、FD、FV、およびDGメソッドはFASを効率的に使用できます。

$$\frac{(\text{cost per pointwise residual}) \cdot (\text{number of points})}{\text{cost of global residual}} \lesssim 2 .$$

$h$

DGの略：

要素の境界を越えて連続性要件を緩和した結果、DG-FEMの変数の数は、同じ数の要素の連続的な対応物の数よりも多くなります。

一方、（要素の観点から）局所的な定式化により、次の利点があります。

• 非定常用語とソース用語は、要素間で完全に分離されています。質量マトリックスは、要素レベルで反転できます。
• より簡単な並列化。
• アダプティブな改良（h-、p-、hp）が簡単になります-グローバルノードの番号を変更する必要はありません。