高次元の放物線PDE（多電子シュレディンガー方程式）を解く際の最新技術は何ですか

単純な極（形式）および境界条件の吸収？$\frac{1}{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|}$

具体的には、多電子シュレディンガー方程式を解くことに興味があります。

$\left( \sum_i \sum_{j\neq i}\left[ -\frac{\nabla_i^2}{2 m} - \frac{Z_i Z_j}{|\vec{r}_i - \vec{r}_j|} + V(\vec{r}_i, t) \right]\right)\psi = -i\partial_t \psi$

1個以上の電子を持つ2原子分子の場合。

方程式の解は、である 電子の数が十分に少ない場合は、従来の方法を使用できます。ドメイン離散化法（有限差分、有限要素、境界要素）、または擬似スペクトル法と同様。この方程式を解くことは、多次元の波動方程式を解くことほど難しくないためです。

大規模なシステムの場合、解決策を得るために何らかのトリックが必要です。電子と電子雲との相互作用の電子-電子相互作用（残りの平均場近似）を置き換え、自己整合的な方法で解きます（平均場から生じる非線形性のため）期間）。これは、Hartree-Fock and Density Functional Theory（DFT）で行われます。元の微分方程式が変分定式に変換される場所。

DFTは現在最も一般的な方法であり、利点はすべての方程式が波動方程式ではなく電子密度に関して定式化されることです。したがって、方程式は3次元空間にあります。これらの方法の両方を説明する1つの本は

• ティッセン、ジョス。計算物理学。ケンブリッジ大学出版局、2007年。Amazonリンク。

3〜10個のパーティクルシステム（パーティクルごとに3D）を解決したいですか？私が知っている限りでは、平均場の理論はごく少数の粒子では特にうまく機能しませんが、二原子分子でのDFTの作業があったようです。

これは、Born-Oppenheimerが有効なシステムですか？もしそうなら、私はスレーターの線形結合はおそらくまばらなグリッドを使用して決定又はスペクトルスパースがグリッド用いた電子波動関数を拡張するために傾斜するかもしれない。この論文は、おそらく助けることができます。

別のオプションは、緊密なアプローチを試すことです。ただし、吸収境界条件について言及したという事実は、イオン化/解離に関連する問題について考えていることを示唆しています。TBは、低レベルの状態を近似しようとする場合にほとんど役立ちます。

おそらく、マルチ構成の時間依存のHartree-Fockメソッドのようなものが、ここMCTDHFで機能します。

最後に、量子モンテカルロ法を見ることができます。これらは、DFT計算を行うために単一原子の交換および相関機能モデルを取得する方法です。多原子拡張があるようです。（リンク権限がありません）。

$M$$3M$$N$$N$$N^{3M}$$M$$N=10$$10^9$

この考察から、すべての電子の問題を同時に考慮することは不可能であることがわかります-一度に1つまたは2つの電子に制限する必要があります。これは当然、システムの残りの部分を固定したまま電子を反復処理するHartree Fockメソッドなどのメソッドにつながります。

私はこの分野を十分に知りませんが、このトピックに関する多くの引用とよく書かれたレビュー論文があると想像してください。