神の数の量子アルゴリズム

神の数は神のアルゴリズムの最悪のケースです

ルービックキューブパズルを解く方法の議論に由来する概念ですが、他の組み合わせパズルや数学ゲームにも適用できます。これは、可能な移動が最も少ないソリューションを生成する任意のアルゴリズムを指します。これは、全知の存在が任意の構成から最適なステップを知っているという考えです。

神の数を20と計算するには、「35 CPU年のアイドル（クラシック）コンピュータ時間」が必要でした。

量子アプローチでどのようなスピードアップを達成できますか？

ルービックキューブケイリーグラフ を考えることができます。各（色付き）エッジは、Singmasterの移動の1つであり、および各頂点は、のキューブの異なる構成の1つです。$\Gamma=(V,E)$$E$$\langle U,U^{2},U^{3}=U^{-1},D,D^{2},D^{3},\cdots\rangle$$V$$43252003274489856000\approx 4.3e{19}$$3\times 3\times 3$

グラフの直径は、グラフ内の最長の最短経路です。直径を決定するための古典的なアルゴリズムは多項式です。たとえば、姉妹サイトからのこの回答を参照してください。$\vert V \vert$

上記のように、神の数はこの直径に（関連して）います。グループのCayleyグラフの頂点までの最短の最短経路を知るには、解決済みの状態からどれだけ離れているかを知るだけで十分です。ロキッキ、コシアンバ、デビッドソン、デスリッジなどのおかげで、神の数はです。彼らが実行したアルゴリズムは多項式、たとえば多項式。$20$$\vert V\vert$$4.3e{19}$

コメントで述べた、Heiligmanのグラフ直径の量子アルゴリズムは、「総量子コスト」で、DjikstraのアルゴリズムよりもGroverの高速化を実現します。ただし、Heiligmanは従来のアルゴリズムと同じようにグラフをエンコードすると思います。たとえば、キュービット。明らかに場合、これは役に立ちません。O （| V |）| V | = 4.3 e $O(|V|^{9/4})$$O(|V|)$$|V|=4.3e{19}$

代わりに、他の質問で示唆されているように、ルービックキューブをエンコードする別の方法は、もちろん、すべての状態にわたって均一な重ね合わせを準備することです。これはキュービットのみを必要とし。ログ4.3 e $4.3e{19}$$\log 4.3e{19}$

量子アルゴリズムは、「固有値」と「固有ベクトル」と「固有状態」について話すのが得意です。すべてのSingmaster移動をすべての状態の均一な重ね合わせに適用しても、状態は変わりません。つまり、均一な重ね合わせは、ケイリーグラフ上のマルコフチェーンの固有状態です。$4.3e{19}$

グラフの直径と、対応する隣接/ラプラシアン行列の固有値/固有ベクトル、特にスペクトルギャップ、2つの最大固有値間の距離（）の間には関係があります。「直径固有値」をグーグルですばやく検索すると、これが生成されます。同様のGoogle検索を探索することをお勧めします。$\lambda_1-\lambda_2$

スペクトルギャップがあり、正確に制限何断熱アルゴリズムを。したがって、おそらく、ルービックキューブグループのさまざまなサブグループ/サブスペースの均一な重ね合わせから解決された状態に進化するために断熱アルゴリズムを実行する必要がある速度を知ることで、スペクトルギャップを推定し、これを使用して神の数を制限できます。しかし、私はすぐにここの私のリーグから外れて、正確さの感覚が達成可能であることを疑います。