そのハミルトニアンシミュレーションアサート多くの論文がBQP完全である（例えば、すべてのパラメータにほぼ最適な依存性を持つハミルトニアンシミュレーションとQubitizationによってハミルトニアンシミュレーション）。

どの量子アルゴリズムもハミルトニアンシミュレーションに還元できるため、ハミルトニアンシミュレーションがBQP困難であることは容易にわかりますが、BQPのハミルトニアンシミュレーションはどのようになっていますか？

つまり、BQPのハミルトニアンシミュレーション決定問題とは何であり、ハミルトニアンのどのような条件の下にあるのでしょうか。

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特にハミルトニアンの条件に関しては、さまざまなバリエーションがあります。たとえば、シミュレーションがまだBQP完全であるハミルトニアンの可能な限り単純なクラスを見つけようとするのは、ちょっとしたゲームです。

ステートメントはおおよそ次の行に沿っています $|\psi\rangle$ （正規化）製品の状態であっても、 $H$ （例えば、一次元格子上のみ最近隣結合からなる）は、いくつかの特定のクラスからハミルトニアンこと $\hat O$ ワン体オペレータようのテンソル積を含む観察 $\|\hat O\|\leq 1$ 、及び $t$ 時間です。その約束を考えると $\langle\psi|e^{iHt}\hat O e^{-iHt}|\psi\rangle$ より大きいまたは未満 $\frac12+a$ いくつかのために（例えば $\frac12-a$ $a$ ）、どちらが当てはまるかを決定します。 $a=\frac16$

詳細

ハミルトニアンシミュレーションはBQP困難です

基本的な構造（元々はファインマンによるもので、ここでは少し調整されています）は、基本的に、BQP完全計算を含む量子計算を実装するハミルトニアンを設計する方法を示しています。測定するオブザーバブルは、特定の出力キュービットののみで、2つの測定結果は「yes」と「no」に対応します。 $Z$

あなたが考えるかもしれないハミルトニアンの最も簡単なソートは計算の考慮することであるシーケンシャルunitaries に作用する状態から、量子ビット。次に、追加のキュービットを導入し、ハミルトニアンを指定できます $N-1$ $U_n$ $M$ $|0\rangle^{\otimes M}$ $N$ として初期状態を準備する場合次いで時間後

H = \frac{2}{N} \sum_{n = 1}^{N - 1} \sqrt{n (N - n)} (| 10 ⟩ ⟨ 01 |_{n, n + 1} \otimes U + | 01 ⟩ ⟨ 10 |_{n, n + 1} \otimes U^{†}) .

$H=\frac{2}{N}\sum_{n=1}^{N-1}\sqrt{n(N-n)}\left(|10\rangle\langle 01|_{n,n+1}\otimes U+|01\rangle\langle 10|_{n,n+1}\otimes U^\dagger\right).$

| 1 ⟩ | 0 ⟩^{\otimes (N - 1)} | 0 ⟩^{\otimes M}

$|1\rangle|0\rangle^{\otimes(N-1)}|0\rangle^{\otimes M}$

、状態になります

場所

所望の計算の出力です。ここで使用した面白い結合強度、

N π / 4

$N\pi/4$

| 0 ⟩^{\otimes (N - 1)} | 1 ⟩ | Φ ⟩

$|0\rangle^{\otimes (N-1)}|1\rangle|\Phi\rangle$

| Φ ⟩

$|\Phi\rangle$

は、決定論的進化を与えるために特に選択され、完全な状態遷移の概念に関連しています。通常、結果は等しい結合で示されますが、確率的進化です。

\sqrt{n (N - n)}

$\sqrt{n(N-n)}$

これがどのように機能するかを確認するには、一連の状態を定義しますハミルトニアンの作用は

| ψ_{n} ⟩ = | 0 ⟩^{\otimes （ n - 1 ）} | 1 ⟩ | 0 ⟩^{\otimes N - n} \otimes （ {うん}_{n - 1} {うん}_{n - 2} \dots {うん}_{1} | 0 ⟩^{\otimes M} ） 。

$|\psi_n\rangle=|0\rangle^{\otimes(n-1)}|1\rangle|0\rangle^{\otimes{N-n}}\otimes\left(U_{n-1}U_{n-2}\ldots U_1|0\rangle^{\otimes M}\right).$

進化がに制限されていることを証明している

（完全な状態の転送で検討特定のものである）三重対角行列で表される部分空間。

H | ψ_{n} ⟩ = \frac{2}{N} \sqrt{（ n - 1 ） （ N + 1 - n ）} | ψ_{n - 1} ⟩ + \frac{2}{N} \sqrt{n （ N - n ）} | ψ_{n + 1} ⟩,

$H|\psi_n\rangle=\frac2N\sqrt{(n-1)(N+1-n)}|\psi_{n-1}\rangle+\frac2N\sqrt{n(N-n)}|\psi_{n+1}\rangle,$

N \times N

$N\times N$

もちろん、このハミルトニアンには特に良いプロパティはありません-たとえば、非常に非ローカルです。ハミルトニアンを、たとえば1次元に単純化するために再生できる多くのトリックがあります。必要に応じて、より複雑な初期製品状態を準備する必要がありますが、翻訳的に不変である場合もあります（その時点で、計算はハミルトニアンでエンコードされなくなりました。これは普遍的ですが、入力状態でエンコードされます）。たとえば、こちらをご覧ください。

ハミルトニアンシミュレーション

ある格子上で局所的であり、初期製品状態に作用する、システムサイズの多項式以下の時間のハミルトニアンの進化は、量子コンピューターによってシミュレートでき、効率的に実装可能な測定を適用できます。オブザーバブルを推定します。この意味で、ハミルトニアンシミュレーションは量子計算ほど難しくないことがわかります。これは、量子計算がハミルトニアンシミュレーションほど困難ではないという前のステートメントに対する反論点です。

$H$ $H_i$

e^{i H t} \approx {(e^{- i H_{1} δ t} e^{- i H_{2} δ t} \dots e^{- i H_{n} δ t})}^{t / δ t}

$e^{iHt}\approx \left(e^{-iH_1\delta t}e^{-iH_2\delta t}\ldots e^{-iH_n\delta t}\right)^{t/\delta t}$

e^{- i H_{1} δ t}

$e^{-iH_1\delta t}$

H_{1} = \sum_{n} h_{n}

$H_1=\sum_nh_n$

e^{- i H_{1} δ t} = \prod_{n} e^{- i h_{n} δ t}

$e^{-iH_1\delta t}=\prod_{n}e^{-ih_n\delta t}$ これは少数の用語の単一であるため、ユニバーサル量子コンピューターで実装できます。

— ダフトウォリー
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ハミルトニアンシミュレーションはBQP完全です

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