量子コンピューターを使用してどのような問題をより効率的に解決できるかについての一般的な声明はありますか？

量子コンピューターを使用して、どのような問題をより効率的に解決できるかについての一般的な説明はありますか（量子ゲートモデルのみ）？現在アルゴリズムが知られている問題には共通の特性がありますか？

私が理解している限り、量子コンピューティングは隠れたサブグループの問題に役立ちます（Shor）。Groverのアルゴリズムは、検索問題の高速化に役立ちます。関数（Grover / Deutsch）の「グローバルプロパティ」を探すと、量子アルゴリズムが高速化できることを読みました。

1. 量子コンピューティングがどこで役立つかについて、より簡潔で正しい記述がありますか？
2. 量子物理学がそこに役立つ理由を説明することは可能ですか（できれば、「干渉を利用することができる」より深い何か）？そして、なぜそれが他の問題（NP完全問題など）に役立たないのでしょうか？

まさにそれを議論する関連論文はありますか？

以前にcstheory.stackexchange.comでこの質問をしましたが、こちらの方が適切かもしれません。

一般的な計算の有用性について

おそらく気付かないうちに、理論的なコンピューターサイエンスについて尋ねることができる最も難しい質問の1つを尋ねていることになります。「量子性」の追加が役立つかどうかを尋ねる代わりに、古典的なコンピューターについて同じ質問をすることができます：

• ランダム化されたアルゴリズムがどこで役立つかについて簡潔な説明はありますか？

  ここで非常にあいまいなことを言うことは可能です。解決策が豊富である（またはいくつかのサブ問題に対する解決策の数が豊富である）と考えているが、体系的に構築することが難しい場合は、作成できると便利です体系的な構築の問題を乗り越えるために、ランダムに選択する。しかし、時には、その理由を注意してください、なぜあなたは、サブ問題への豊富なソリューションが使用して証拠があるのでされていることを知っている確率論的方法は。この場合、有効なランダム化されたアルゴリズムに実質的に削減することにより、ソリューションの数が豊富であることを知っています！

  これらの場合に解決策の数が十分であるという事実を正当化する別の方法がない限り、ランダム化アルゴリズムがいつ役立つかについての簡単な説明はありません。そして、あなたが「有用性」（超多項式優位）の十分に高い要求を持っているなら、あなたが求めているのは、$\mathsf P \ne \mathsf{BPP}$であり、これは複雑性理論の未解決の問題です。
  
  

• 並列化されたアルゴリズムがどこで役立つかについて簡潔な説明はありますか？

  ここでは少し改善されるかもしれません。問題が多くの独立した副問題に分解できるかのように見える場合は、並列化できます。ただし、これは漠然とした「見ればわかる」という基準です。主な問題は、あるでしょうあなたはそれを見たとき、あなたはそれを知っていますか？有理数上の線形方程式系の実行可能性をテストすることは、並列化できるだけでなく、 - 深さの回路を使用して解くことができると思いますか [  Comput。複雑。 8（pp。99--126）、1999 ]？$O(\log^2 n)$

  このために人々が大局的な直感を描く1つの方法は、反対方向から質問にアプローチすることです。 が役に立たない。具体的には、問題に本質的に連続した側面がある場合は役に立ちません。しかし、これは循環的です。「シーケンシャル」とは、問題に対して見ることができる構造が、並列化されていない構造であることを意味するためです。

  繰り返しますが、並列化されたアルゴリズムがいつ役立つかについての簡単で包括的な説明はありません。そして、「有用性」（多項式の並​​列化を想定した時間の多対数上限）の十分に高い要求がある場合、求めているのは$\mathsf P \ne \mathsf{NC}$であるかどうかであり、これは再び複雑性理論の未解決問題です。
  
  

「[X]が役立つ場合の簡潔で正確な説明」の見通しは、この時点ではあまり見栄えがよくありません。ここで私たちが厳しすぎると抗議するかもしれません：多項式の利点以上のものを要求するという理由で、非決定的チューリングマシンが「有用」であると主張することさえできません（明らかに不合理です）。このような高いバーを要求するべきではありません。充足可能性を効率的に解決する手法がない場合、少なくとも何らかの方法で非決定論的なチューリングマシンを取得できれば、それが非常に非常に役立つことがわかります。しかし、これは特徴づけることとは異なりますどの問題が役立つかを正確ます。

量子コンピューターの有用性について

一歩後退、そこにあります ものは、我々は量子コンピュータが参考にされている場所について言うことができますか？

私たちはこれを言うことができます：量子コンピューターは、古典的なコンピューターでは利用できない問題の構造を利用している場合にのみ、面白いことをすることができます。（これは、あなたが言及しているように、問題の「グローバルな特性」についての発言によって示唆されます）。しかし、私たちはこれ以上のことを言うことができます：ユニタリー回路モデルで量子コンピューターによって解決された問題は、ユニタリー演算子としてその問題のいくつかの特徴を具体化します。古典的なコンピューターでは利用できない問題の特徴は、標準ベースと（おそらく）統計的に有意な関係を持たないものです。

• Shorのアルゴリズムの場合、このプロパティは、リング上の乗算で定義される置換演算子の固有値です。
• Groverのアルゴリズムの場合、このプロパティは、マークされた状態のセットに関するリフレクションが均一な重ね合わせに関するリフレクションと交換するかどうかです。これにより、Groverイテレータに以外の固有値があるかどうかが決まります。$\pm 1$

どちらの場合も、情報が固有値と固有ベクトルに関連していることを確認しても特に驚くことではありません。これは、標準ベースとの有意な関係を必要としない演算子のプロパティの優れた例です。しかし、情報が固有値でなければならない特別な理由はありません。必要なのは、ユニタリーオペレーターを記述できることです。これは、標準ベースの検査からは明らかではないが、いくつかの他の容易に記述の方法でアクセスできます。

結局のところ、これは、問題を解決するための量子アルゴリズムを見つけることができる場合に、量子コンピューターが役立つということだけです。しかし、少なくともそれは量子アルゴリズムを見つけるための戦略の大まかな概要であり、これはランダム化アルゴリズムまたは並列化アルゴリズムについて上で説明した戦略の大まかな概要よりも悪くはありません。

量子コンピューターが「役に立つ」ときの注意

他の人々がここで指摘したように、「量子コンピューティングが役立つ場所」は、「ヘルプ」の意味に依存します。

• Shorのアルゴリズムはそのような議論でしばしば取り上げられますが、たまに人々は、因数分解が多項式時間で解けないことを知らないことを指摘するでしょう。それでは、「量子コンピューティングが数値の因数分解に役立つ」ことを実際に知っていますか？

  量子コンピューターを実現するのが難しいことは別として、ここでは合理的な答えは「はい」だと思います。従来のコンピューターを使用して効率的に因子分解できないことを知っているからではなく、従来のコンピューターを使用してどのように分解するかわからないからです。量子コンピューターが、あなたがより良いアプローチをしていない何かをするのを助けるなら、これは「助けている」ように思えます。

• $O(2^{0.386\,n})$

  おそらく、グローバーのアルゴリズムなどは特に便利ではありません。ただし、それを使用してブルートフォース検索を超えたより巧妙な古典的な戦略を精緻化する場合に役立つことがあります：振幅増幅、グローバーのアルゴリズムのより一般的な設定の自然な一般化を使用して、多くの非自明なアルゴリズムのパフォーマンスを改善できますSAT（[[ACM SIGACT News  36（pp.103--108）、2005 — free PDF link ]を参照。コメントでこの参照を指摘してくれたMartin Schwarzへのヒント）

  Groverのアルゴリズムと同様に、振幅増幅は多項式の高速化のみをもたらしますが、実際には、ノイズから量子情報を保護することに伴うオーバーヘッドによって洗い流されなければ、多項式の高速化さえも興味深いかもしれません。

TL; DR：いいえ、複雑性の用語で言えば、量子コンピューターがどのタイプの問題を解決できるかについての正確な「一般」ステートメントはありません。ただし、大まかなアイデアはあります。

計算複雑性理論との関係に関するウィキペディアのサブ記事によると

量子コンピューターで効率的に解くことができる問題のクラスは、「限界誤差、量子、多項式時間」を表すBQPと呼ばれます。量子コンピューターは確率的アルゴリズムのみを実行するため、量子コンピューターのBQPは、古典的なコンピューターのBPP（ "有界誤差、確率的、多項式時間"）に相当します。これは、多項式時間アルゴリズムで解決可能な一連の問題として定義され、その誤差の確率はhalfから離れて制限されます。量子コンピューターは、すべてのインスタンスについて、その答えが高い確率で正しい場合、問題を「解決」すると言われています。その解が多項式時間で実行される場合、その問題はBQPにあります。

BQPは複雑度クラスに含まれています #P（またはより正確には関連する決定問題のクラスP ^#P）に含まれています。これはPSPACEのサブクラスです 。

BQPはNP完全およびPの厳密なスーパーセットから切り離されていると疑われますが、それは不明です。整数因数分解と離散対数の両方がBQPにあります。これらの問題は両方とも、 BPPの外にあると疑われるNPの問題であり、したがってPの外にあることが疑われます。両方ともNP完全ではないと疑われます。量子コンピューターは、多項式時間でNP完全問題を解くことができるという一般的な誤解があります。それは真実であるとは知られておらず、一般に偽であると疑われています。

古典的なアルゴリズムを高速化する量子コンピューターの能力には、量子計算の複雑さの上限という厳格な制限があります。古典的な計算の圧倒的な部分は、量子コンピューターでは加速できません。Groverのアルゴリズムが最適である検索問題のような特定の計算タスクでも同様の事実が起こります。

${\displaystyle O({\sqrt[{3}]{N}})}$$\displaystyle O({\sqrt {N}})$

一部の問題タイプでは、量子コンピューターは従来のコンピューターよりも高速かもしれませんが、上記のコンピューターでは、従来のコンピューターでは解決できない問題を解決できません。チューリングマシンはこれらの量子コンピューターをシミュレートできるため、そのような量子コンピューターは停止問題のような決定できない問題を解決することはできません。「標準的な」量子コンピューターの存在は、教会とチューリングのテーゼを否定しません。M理論やループ量子重力などの量子重力理論により、さらに高速なコンピューターを構築できる可能性があると推測されています。現在、そのような理論で計算を定義することは時間の問題のために未解決の問題です。つまり、現在オブザーバーがコンピューターに入力を送信し、後で出力を受信することの意味を説明する明確な方法は存在しません。

なぜ量子コンピュータができ、効率的 BQPの問題を解決します：

1. $n$$2n$

2. 通常、量子コンピューターでの計算は測定で終了します。これは、基底状態の1つへの量子状態の崩壊につながります。量子状態は、高い確率で正しい状態にあると測定されていると言えます。

興味深いことに、理論的にポストセレクション（スケーラブルで実用的な実装がない）を許可すると、複雑度クラスpost-BQPが得られます。

計算の複雑さの理論では、PostBQPは、ポストセレクションと有界誤差のある量子チューリングマシンで多項式時間で解けるすべての計算問題で構成される複雑さのクラスです（アルゴリズムがすべての時間の少なくとも2/3であるという意味で）入力）。ただし、ポストセレクションは、現実的なコンピューター（量子コンピューターであっても）が持つ機能とは見なされませんが、理論的にはポストセレクションマシンは興味深いものです。

コメントセクションで@Discreteトカゲが言及した内容を追加したいと思います。「助けることができる」という意味を明確に定義していませんが、複雑性理論の経験則では、もし量子コンピューターが、解決できる問題はBQPにありますが、P または BPPにはありません。上記で説明した複雑度クラス間の一般的な関係は、次のように疑われます。

$\text{P $\subseteq$ BPP $\subseteq$ BQP $\subseteq$ PSPACE}$

ただし、P = PSPACEは、コンピューターサイエンスの未解決の問題です。また、PとNPの関係はまだわかっていません。

そのような一般的な声明はありません、そして、それはすぐにあるでしょう。その理由を説明します。質問への部分的な回答については、2つの複雑度クラスBQPとPostBQPの問題を調べると役立つ場合があります。

量子ゲートモデルの量子コンピューターによって効率的に解決できる問題に最も近い複雑度のクラスは次のとおりです。

1. BQP ; そして
2. PostBQP

BQPは、量子回路上の多項式時間で解くことができる問題で構成されています。Shorのアルゴリズムなどの最も重要な量子アルゴリズムは、BQPの問題を解決します。

PostBQPは、さらにポストセレクションを実行できる量子回路上の多項式時間で解決できる問題で構成されています。PostBQPのように、これははるかに強力です。$=$PP、PPを含むクラス。

ただし、現在のところ、実用的な方法はありませんポストセレクション実装ため、PostBQPは理論的に興味深いものです。

P、NP、BQPの関係は現在不明です。そして、P対NPのオーダーの未解決の問題。量子コンピューターを使用してどのような問題をより効率的に解決できるかについての一般的な説明として、BQP対Pの質問に答える必要があります（BQP = Pの場合、明らかに量子コンピューターは（少なくとも複雑性理論家にとって）より効率的ではありません）

Blueの写真と同様に、Quanta Magazineのこの写真のほうが好きです。なぜなら、私たちが話していることを視覚的に要約しているように見えるからです。