凸包

形状の凸包は次のように定義されます：

数学では、実ベクトル空間Vの点Xの集合の凸包または凸包絡線は、Xを含む最小の凸集合です（ウィキペディア）

ウィキペディアは、ラバーバンドの類推を使用してそれをうまく視覚化し、それを計算するためのいくつかの優れたアルゴリズムがあります。

凹船体

凹包は下の画像の赤い線を使用して視覚化されます（青い線は凸包を視覚化します）。直観的には、すべてのポイントを包含するポリゴンですが、凸包に比べて面積が小さい（最小？）その結果、ポリゴンの境界の長さが長くなります。

凹型の船体は、いくつかの現実世界の問題の解決策になる場合があります（たとえば、都市の合理的な境界を見つける）。

凹包の概念に対する適切な定義、アルゴリズム、実用的な解決策を見つけることができませんでした。草ウィキは、いくつかの説明とイメージを持っている、との商業ソリューションがありconcavehull.comが。

アイデア、アルゴリズム、リンクはありますか？

SCWが指摘する、あなたはの実装欲しいα-図形を。

アルファ形状は、凸包の一般化と考えることができます。それらは1981年に最初に記述されました：

エデルスブルナー、H .; カークパトリック、D。Seidel、R .; 、「平面上の点の集合の形状について」、情報理論、IEEE Transactions on、vol.29、no.4、pp。551- 559、1983年7月

興味のある環境向けのオープンソース実装があります：

PostGIS

PostGISスタックを使用している場合、pgRoutingのオプションのDriving Distance拡張機能は、アルファ形状の実装を公開します。ただし、アルファパラメータを変更できるかどうかはわかりません。

使用法は次のとおりです。

SELECT the_geom AS alpha_shape 
FROM 
  points_as_polygon(
    'SELECT id, ST_X(your_geom) AS x, ST_Y(your_geom) AS y FROM your_table');

Python

おそらくあなたが使用できる多くのpythonモジュールがあります。C ++計算ジオメトリライブラリであるCGALについて良いことを聞いたことがあります。 Pythonラッパーは、CGALのアルファ形状の実装をPythonに公開するなど、CGALの一部に存在します。

CGALの一部はQPLの下でライセンスされていることに注意してください。つまり、CGALにリンクされたプログラムを配布する場合は、QPLの下でリリースする必要があります。プログラムコードまたはバイナリを再配布しない場合は、コードの所有権を保持して構いません。

ここではあなたが探しているものです。

プログラムをダウンロードしてテストできます：（Javaで、GPLライセンスの下で）

アルゴリズムを提示する論文があります：

Duckham、M.、Kulik、L.、Worboys、MF、Galton、A.（2008）平面内の一連の点の形状を特徴付けるための単純なポリゴンの効率的な生成。パターン認識v41、3224-3236

これは、特定のアプリケーションであるように思わアルファシェイプ私の読書からこの問題のより一般的な形式です。Rにはalphahullモジュールがあり、これにはアルファ形状の計算に関する優れたドキュメントがあります。また、アルファ形状のこの詳細な背景を確認してください。凸包/ 凹包のみを計算したい場合は、lastoolsの一部であるlasboundaryをチェックしてください。これはうまくスケーリングし、数百万の入力ポイントを処理できます。

最後に、Flickrによるこのアルファ形状の興味深いアプリケーションは、少し前にラウンドを行い、ユーザーが生成したポイントコンテンツを集約するためのユーティリティを示しました。

PostGISトランクにST_ConcaveHullの実装があります。 http://postgis.net/docs/ST_ConcaveHull.html

[lasboundary] [1,2]という非常に効率的なツールを作成しました。これは、LAS / LAZ / SHP / ASCII形式のLIDARの凹包を計算し、ESRI Shapefile形式またはgeoのベクトル境界ポリゴンとして結果を保存します-参照KMLファイル。

以下に実行例を示します。

C:\lastools\bin>lasboundary -i SerpentMound.las -o SerpentMound_boundary.shp
reading 3265110 points and computing convex hull for 3265110 points
growing inward towards concave hull (with concavity = 50)
outputting the concave hull
concave hull has 1639 points

結果の写真がここにあります。

R実装のアルファ形状については、「アルファ形状のSPオブジェクトへの変換」に関する記事があります。

alphahull、sp、およびspgrass6に基づいてい ますhttp://casoilresource.lawr.ucdavis.edu/drupal/node/919

以下は、アルファハルモデルを実装するR関数です。出力はspポリゴンオブジェクトです。ヘッダーの例をご覧ください。sp、alphahull、maptoolsパッケージが必要です。

**更新（2018年1月15日）alphahullパッケージによって生成されたオブジェクトには、多数の変更が加えられました。そのため、関数を書き直す必要がありました。spatialEcoパッケージにconvexHull関数を追加しました。ただし、alphahullパッケージのライセンス制限により、この機能はGitHubの開発バージョンでのみ使用可能です。開発バージョンは、次を使用してインストールできます。

library(devtools)
install_github("jeffreyevans/spatialEco")

以下は関数の使用例です

library(sp)
library(spatialEco)
data(meuse)
 coordinates(meuse) = ~x+y
a <- convexHull(meuse, alpha=100000)
  plot(a)
    points(meuse, pch=19)

結果のSpatialLinesDataFrameをSpatialPolygonsDataFrameに変換します

library(sf)
a <- sf::st_as_sf(a) 
a <- sf::st_polygonize(a)
class( a <- as(a, "Spatial") )
  plot(a)

複数のアルファ値をテストする

par(mfcol=c(2,2))
   for (a in c(500, 1500, 5000, 100000)) {
   ch <- convexHull(meuse, alpha = a)
     plot(ch)
      points(meuse, pch=19)
        title( paste0("alpha=", a))      
   }

JTS（http://tsusiatsoftware.net/jts/main.html）は、Convex Hullの実装を提供します。Martin Daviesさんは、アルファシェイプアルゴリズムが機能していることにも言及しているので、SVNリポジトリをチェックして、まだ入っているかどうかを確認してください。

JTSについて言えば、GTSを使用してJTSライブラリを操作できます。 凸包に関する記事については、http：//geoscriptblog.blogspot.com/2010/06/unwrapped-jts-with-python.htmlをご覧ください。GeoScript実装は、JavaScript、Python、Scala、Groovyで利用できます。公式ウェブサイト：http : //geoscript.org

Cで書かれたプログラムは、凸包、アルファ形状、デラウニー三角形分割、ボロノイボリュームを計算します。

• ハル -ケンクラークソン（2002）

CおよびJava実装の別の凸包アルゴリズムは次のとおりです。

• 凸包（2D）-Cの計算幾何学、ジョセフ・オルーク（1998）

この投稿の以前の回答に追加するには、少なくともQGIS 2.6の時点では凹包アルゴリズムがあります

パラメーター
入力ポイントレイヤー[ベクター：ポイント]
パラメーターの説明をここに入力

しきい値（0-1、1は凸包と同等）[数値]
ここにパラメーターの説明を入力
デフォルト：0.3

穴を許可[ブール値]
ここにパラメータの説明を入力
デフォルト：True

分割マルチパートsinglepartsジオメトリ[ブール]へのジオメトリ
デフォルト：false

出力凹包[ベクター]
出力の説明をここに入力

コンソール使用
処理.runalg（ 'qgis：concavehull'、入力、アルファ、穴、no_multigeometry、出力）

また、Esriにはツールの最小境界ジオメトリ（データ管理）があります

凸包を含むジオメトリタイプを選択できます

GRASS GIS 7用の新しいアドオンv.concave.hullが利用可能です。http://grasswiki.osgeo.org/wiki/Create_concave_hullも 参照してください

質問の「適切な定義」の部分を支援するため。https://en.wikipedia.org/wiki/Convex_hullを見 て、「適切な」定義と見なすことができるものを見つけたかもしれませんが、不足していることがわかったので、おそらく「有用な」定義は次のとおりです。

凸包の内側のすべてのポイントについて、ハル内にない任意のポイントへの直線は、ハルと1回だけ交差します。

これは、ポイントが与えられると、それを通る線を作成し、その作成された線が船体のセグメントと交差するかどうかをテストできるため便利です。

• ポイントが船体にない交差点はありません。
• ポイントがハル上にある1つの交差点。
• ポイントが船体内にある2つの交差点
• 直線は凸包と2回以上交差できません