ユーロコードにおける橋梁固有振動数推定の導出

ユーロコードは、「曲げのみを受ける単純支持橋」*を推定するために次の式を与えます。

$$ n_0 = \ frac {17.75} {\ sqrt {\ delta_0}} $$

どこで

• $ n_0 $は固有振動数です ヘルツ
• $ \ delta_0 $は、恒久的な行動の下でのスパン中央でのたわみです mmで

この方程式は薄い空気から引き抜かれているようで、定数17.75がどこから来るのかについての説明はありません。エンジニアとして、私は理解できない公式を使うのが嫌ですが、それ以外の基本的な条件を使って作業できるように変更できるかどうかを確認できるように、その背後にある基礎を学ぶことは役に立ちます。

誰かがこの関係に由来／根本的な起源を提供することができますか？

*完全な参照は次のとおりです。EN1991-2：2003 6.4.4 [Note 8]（式6.3）が役に立つ場合。

ブリッジ全体を一定の断面サイズで内部減衰のない2次元の細い梁に単純化し、小さな垂直方向の偏向のみを適用する場合、固有振動数は単純な調和運動によって決定されます。

$$ n_0 = \ frac {1} {2 \ pi} \ sqrt {\ frac {k} {m}} $$

$ n_0 $が固有振動数である場合、$ k $は復元力とたわみの間の比（等価の 'ばね剛性'）で、$ m $は梁の単位長さあたりの質量です。

梁では、復元力はたわんだ形状によって生じる内部せん断力です。梁が示す力はせん断力の変化率に比例するため、剛性率（$ EI $）とモーメントの変化率 それは示すことができます （注：たわみは梁の長さに比例します） それ：

$$ k = \ alpha \ frac {EI} {L ^ 4} $$

ここで、$ E $は梁材料のヤング率、$ I $は梁断面の2次慣性モーメント、$ L $は梁の長さ、$ \ alpha $は支持条件によって決まる定数です。応答のモード番号

私がこれまでに見たすべての文献は、周波数方程式にとってより便利な方法でこれを表現しています。

$$ k = \ left（\ frac {K} {L ^ 2} \ right）^ 2（EI）$$

代入する

$$ n_0 = \ frac {K} {2 \ pi L ^ 2} \ sqrt {\ frac {EI} {m}} $$

$ K $の値を計算することは非常に複雑であり、簡単な解決策、および自由エネルギー法やRaleigh Ritzなどの近似法に対する厳密なアプローチがあります。のいくつかの逸脱 単に支持された梁はここで見つけることができます 。

この方程式で十分であることに注意する必要がありますが、それは$ K $の表とブリッジを均質ビームとして表す$ EI $の値の計算を必要とするので、Eurocodeの作者は決定したようです$ k $がビームに沿って一定であるという仮定を再統合するほうが良いでしょう。

これを行うために、彼らは以下の関係を使用しました：

$$ \ delta_0 = C \ frac {w L ^ 4} {EI} $$

$ \ delta_0 $が最大たわみである場合、$ C $は支持条件によって決定される定数です。$ w $は梁の長さに渡って一定の一様分布荷重です。

自重$ w = gm $のもとで、$ g $は重力による加速度です（9810 mm / s ² ;この式のたわみは mm ）

したがって（再配置：）

$$ \ sqrt {\ frac {EI} {m}} = L ^ 2 \ sqrt {9810} \ frac {\ sqrt {C}} {\ sqrt {\ delta_0}} $$

など：

$$ n_0 = \ frac {15.764 K \ sqrt {C}} {\ sqrt {\ delta_0}} $$

$ K $と$ C $の一般的な値は構造テーブルにあります ここに 、そして ここに それぞれ。

単純に支持された梁の場合：

$$ K = \ pi ^ 2 \ text {and} C = \ frac {5} {384} $$ $$ 15.764 K \ sqrt {C} = 17.75 $$ $$ n_0 = \ frac {17.75} {\ sqrt {\ delta}} $$

これが可能な答えです。

私は見つけた この 関連する派生物を含む文書（正確な出典は不明）

単純な調和運動問題では、 $$ n_0 = \ frac {1} {2 \ pi} \ sqrt {\ frac {k} {m}} $$ ここで、$ k $は弾性剛性、$ m $は振動を受ける質量です。

$$ k = \ frac {\ text {load}} {\ text {deflection}} = \ frac {F} {\ delta} $$ ここで、$ F $は力、$ \ delta $はたわみです。したがって、 $$ n_0 = \ frac {1} {2 \ pi} \ sqrt {\ frac {F} {m \ delta}} = \ frac {1} {2 \ pi} \ sqrt {\ frac {ma} {m \ {}} = \ frac {1} {2 \ pi} \ sqrt {\ frac {a} {\ delta}} $$ しかし、あなたの例のたわみはミリメートル単位ですが、ここではメートル単位です。 $$ n_0 = 5.03 \ sqrt {\ frac {a} {\ delta}} $$ $ a = 12.4382 $の場合、私たちはあなたの方程式を得ます。しかし、この値がどこから来るのか私にはわかりません。それは別の単位スイッチが必要であるかもしれません、またはそれは加速がそれらのラインに沿っているケースのごく一部のサブセットのためだけであるかもしれません。

これについては、Ladislav Frybaの著書 "Dynamics of Railway Bridges"（1996）にいくつかの詳細があります。第4章を読むと、92ページの式4.53が表示されます。

$$ f_1 = 17.753 v_ {st} ^ { - - 1/2} $$

$ f_1 $がヘルツの最初の固有振動数、$ v_ {st} $がミッドスパンのたわみ（mm）です。これはまさにあなたが求めている式です。

この方程式は、一様に分布した荷重で荷重された単純支持梁のミッドスパン偏向の公式から得られます。 μg

$$ v_ {st} = {5 \ 1pt 1以上384} {\ mu gl ^ 4 \ 1 1pt EI以上} $$

これはに代入されます

$$ f_j = {\ lambda_j ^ 4 \ 1pt l ^ 4}（{EI \ 1pt \ mu}以上）^ {1/2} $$

$$ \ lambda_1 = \ pi $$となります。

g = 9.81 m / s ^ 2を使用してこれらの式を互いに代入すると、

$$ f_1 = {\ pi \ 1pt 2以上}（{5 \ 1pt 384} g）^ {1/2} v_ {st} ^ { - 1/2} $$

この方程式を数値評価すると、望ましい方程式が得られます。

私自身のようなエンジニアにとってのダイナミクスは、一般的には統計に関係していますが、間違いやすいこと、そして誤解を招くことがあります。この式は、単純に支持された梁には非常に便利です。複雑な問題に陥ることなく、適用された自重荷重と実際の荷重の割合（通常10％）にすばやく関連することができるためです。

カンチレバーも同様の定数を使用できます（udlの場合19.8、終点荷重の場合15.8）。それはすべて連続的な梁とフレームで分解されます。

私はそれを追跡するためにすべての梁設計で固有振動数チェックを組み込んでいます。例えば木造建築物の場合は8Hz、コンクリートの床/鉄骨フレームの場合は4〜6Hzが最初のパスとして使用されます。

動的応答を評価するための大まかで手軽な方法もあります。私はダイナミクスがまだ私を混乱させ、そして混乱させていると言わなければなりません！だから私はできるだけシンプルにします。