インダクタンス（L）が2乗（N²）に比例するのはなぜですか？

マックスウェルの方程式から始めます

$$\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} = \mu \mathbf{J} + \overbrace{\mu \epsilon \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}}^0.$$

コアの平均経路（）内の表面（）について、両側の表面積分を取ります。$s$$c$

$$\int_s \left( \mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} \right) \cdot d\mathbf{s} = \mu \int_s \mathbf{J} \cdot d\mathbf{s}$$

ストロークの定理を使用して、左側を書き換えます。ここで、は磁束と同じ方向にあります。$c$$\Phi$

$$\oint_c \mathbf{B} \cdot d \mathbf{\ell} = \mu N I$$

（巻線の異なるワイヤがあるため、左側の積分はになります。）$NI$$N$

この種のコア内部の磁場密度は均一であると見なされます。だから、私たちは書くことができます

$$B \ell_c \overset\sim= \mu NI \implies B = \dfrac{\mu NI}{\ell_c};$$

ここで、はコアの平均パスです。$\ell_c$

コアの断面積を使用して、見つけた磁束密度から磁束を見つけることができます。$A_c$

$$\Phi = BA_c = \dfrac{\mu NIA_c}{\ell_c}$$

定義により、インダクタンスは、印加電流ごとに生成される磁束の量、つまり

$$L \overset\triangle= \dfrac{\Phi}{I}.$$

したがって、システムのインダクタンスは

$$\boxed{ L = \dfrac{\Phi}{I} = \dfrac{\dfrac{\mu NIA_c}{\ell_c}}{I} = \dfrac{\mu NA_c}{\ell_c} }.$$

しかし、他のすべてのソース（例）は、このようなインダクターのインダクタンスを与えます

$$L = \dfrac{\mu N^2A_c}{\ell_c}.$$

派生で私がした間違いは何ですか？詳しく説明してください。

上記の式を使用してコアフラックスを計算すると、インダクタンスは各ターンのすべてのフラックスの合計を取ります。各ターンを通る磁束は、コア磁束と同じで等しくなります。コアの磁束はNに比例し、磁束のターンごとの合計は比例します。$N^2$

この依存性を表現する別の方法は、次のとおりです。ターン間の磁気結合のため。

次に、シングルターンインダクタ（左下）を考えて、シングルターンが2つの平行なワイヤに分割され、それらがほぼ同じスペースを占有するように非常にきつく巻かれていることを想像してください（右下）。

与えられた印加電圧に対して、2本の平行線はそれぞれシングルターンインダクタの電流の半分を取り、一緒にシングルターンと同じ電流を取ります。-

このため、個々のパラレルワイヤは、シングルワイヤの2倍のインピーダンスを持たなければならず、一緒に並列に配線された場合、シングルワイヤと同じインピーダンスを示す必要があります。今のところ大丈夫？

次に、これら2本のワイヤを（心の中で）再配置して、互いに直列になるようにします。インピーダンスは、インピーダンスの4倍に変わります。-

これは、インダクタンスが2倍のターンで4倍になったことを意味し、この例をnターンに拡張することは簡単です。

派生で私がした間違いは何ですか？詳しく説明してください。

インダクタンスは

$$L = \frac{\lambda}{I} = \frac{N\Phi}{I}$$

ここで、は磁束リンケージであり、磁束リンクは N回転します。$\lambda$