「家庭用品」の公平かつ効率的な配分

8

たとえば、家庭用家具（x）と電気機器（y）などの2つの商品を使用した交換経済について考えます。これらの商品の興味深い点は、家族がバンドルを所有している場合、家族のすべてのメンバーが同じバンドルを楽しむことです（これは「クラブグッズ」のようですが、家族専用です）。

2つの家族があります。各ファミリには、バンドルよりも異なる設定を持つ異なるメンバーがいます。すべての設定が単調に増加し、厳密に凸であると仮定します。

割り当ては、バンドルの対であるファミリー1及びためファミリー2。 $(x_1,y_1)$ $(x_2,y_2)$

次の場合、割り当ては羨望の的と呼ばれます。

ファミリー1のすべてのメンバーは、が少なくともと同じであると信じています。 $(x_1,y_1)$ $(x_2,y_2)$
ファミリ2のすべてのメンバーは、 $(x_2,y_2)$ が少なくともと同じであると信じてい $(x_1,y_1)$ ます。

すべての家族のすべてのメンバーが弱く好み、1つの家族の少なくとも1人のメンバーが厳密に好むような家族へのバンドルの他の割り当てがない場合、割り当てはパレート効率と呼ばれます。

パレート効率の高い羨望のない割り当てはどのような条件下で存在しますか？

各家族に1人のメンバーがいる場合、パレート効率の高い羨望のない割り当てが存在します。これはバリアンの有名な定理です。この定理は個人から家族に一般化されていますか？

— エレル・シーガル・ハレビ
ソース

羨望の自由の非常に強い定義。最初に何らかの方法でプリファレンスを集約し、集約されたプリファレンスに従って羨望はないと主張するのではないでしょうか。

— Giskard

@denespは確かに、たとえば社会福祉機能を使用するなど、好みを集約することを考えました。しかし、そのような関数のすべての選択は恣意的であり、十分に動機付けられていません。

— Erel Segal-Halevi 2015

@ ErelSegal-Haleviまた、各家族の各メンバーの効用が、家族が受け取ると量がわずかに増加しているとしますか？もしそうなら、私にはパレート効率的で羨望のない割り当てが存在する非常に不満な条件があります：各家族について、その家族の各メンバーが同じ好みを持っていると仮定します...：P

x

$x$

y

$y$

— Shane

@Shaneの弱い単調性は合理的な仮定のようです。各家族で、すべてのメンバーが同じ好みを持っている場合、各家族は実際には単一のエージェントのようであるため、標準設定に戻ります...

— Erel Segal-Halevi '28

およびの場合はどうですか？単調性が弱いと仮定すると、これはパレートで羨望のないものでなければなりません。そこから、小さなイプシロンの変更を行うことができますか？

x_{1} = x_{2}

$x_1 = x_2$

y_{1} = y_{2}

$y_1 = y_2$

— キツネ騎兵

2

現在のところ、ラベルの変更の等価性、したがってこの回答の有用性についてはよくわかりません-以下のコメントを参照してください。

これは答えの始まりであり、存在を保証するために必要な仮定がどれほど強力でなければならないかを示す試みです。

問題を同等であるが少し扱いやすいものに変換しましょう。家族にインデックスを付ける代わりに、エージェント（家族のメンバー）にインデックスを付けましょう。この再ラベル付けの鍵は、ファミリーを制約として記述できることを理解することです。エージェントとが同じファミリーに属している場合、およびです。 $i$ $j$ $x_i=x_j$ $y_i = y_j$

これで、個々のエージェント（ファミリーではない）を持つ標準環境に戻りましたが、これらの家族的な制約があります。質問にリンクしたバリアンの定理の証明を思い出してください。それは、平等な収入からの競争均衡の存在を利用しています。この文脈では、家族の制約も満たされている、平等な所得からの競争均衡の存在が必要です。これは非常に困難です。たとえば、とがファミリーにあり、ここで、は小さいです。これらの設定は単調で凸型です。基本的に、家族の1人はを気にし、もう1人はを気にします $i$ $j$

u_{i} = x_{i} + ε y_{i} and u_{j} = ε x_{j} + y_{j}

$u_i=x_i + \varepsilon y_i \:\: \text{ and } \:\: u_j = \varepsilon x_j + y_j$

ε > 0

$\varepsilon>0$

x

$x$

y

$y$ 。2人のエージェントがそれぞれ自分の効用を最大化するためにとを購入している場合、競争均衡にまたはは期待できません（最後の補遺を参照）。

x

$x$

y

$y$

x_{i}^{*} = x_{j}^{*}

$x_i^* = x_j^*$

y_{i}^{*} = y_{j}^{*}

$y_i^* = y_j^*$

これが、家族内の選好の類似性について何らかの仮定が必要な理由です（少なくともバリアンの証明のバージョンを使用するには）。私の考えでは、家族間の好みの任意の小さな違いを教えてくれれば、同じ割り当てを選択するCEEIが存在しない例を構築できます。そして、少なくとも、バリアンの証明を使用することはできません。

2つの質問：

私の問題の再定式化が形式的にあなたのものと同等であることに同意しますか？
反例で無効にしようとする家族内での好みの均一性を仮定するよりも弱い仮定について考えることができますか？

補遺：競争均衡では、各エージェントの限界代替率（MRS）は価格比に等しいことに注意してください。ここで、私のエージェントには一定の異なるMRSがあるため、価格比が両方のMRSに等しい競争均衡は存在できません。各エージェントのMRSが異なる場合、平衡価格比で偶然に同じになる可能性があります。ですから、家族の好みの局所的な同質性の概念をなんとかして逃げることができるでしょう。しかし、競争均衡でそれらを局所的に均質にする必要があります。これはまさに存在しようとしていることを証明しようとしているため、少し循環的です。

重要な注意：前述のとおり、存在を証明する唯一の方法は、CEEIを介してVarianがそれを行った方法であると想定しています。これらの問題を回避する他の証明手法があるかもしれませんが、私はそうではないと思います。

CEEIを超えて： OPがコメントで指摘しているように、VarianのようにCEEIを介してPEEFの存在を証明することはやや制限的です。いずれかのために、（現時点では羨望フリー性を無視する）あなたのパレート効率の条件を満足する任意の割り当てのために：私は直接PEEFsの存在を証明について言うべき多くを持っていないが、以下は容易に明らかである、その結果、 $i,j$ $x_i, x_j, y_i, y_j > 0$

M R S_{私} = M R S_{j}

$MRS_i = MRS_j$ これが真実でなければ、パレートの改善があるでしょう。競争均衡は基本的に価格比を通じてMRSを同等化しますが、パレート効率の高い割り当てを見つけるためだけにこれらのMRSを同等化する必要があります。家族的な制約はこれを非常に難しくすると思います-それらの制約を満たすパレート効率の良い均衡が存在しないような環境と家族的な制約を思いつくことは難しくありません。いずれにせよ、これは答えへの別の部分的なステップになる可能性があります：羨望の自由を忘れます。最初に、家族の制約を満たすパレート効率的な割り当ての存在を保証する選好（およびおそらく家族の制約）に関する仮定を考え出そうとします。その後、羨望を心配します。

— シェーン
ソース

1

家族的な制約のあるCEEIは通常存在しないというあなたの直感を共有します。ただし、PEEFの割り当てはCEEIの割り当てよりも多くあります。多くの場合、CEEIは本質的にユニークですが、さまざまなPEEFがあります。例として（家族性の制約なし）、およびとすると、基数は（4,4）になります。CEEIの割り当ては[（4,0）のみです。（0,4）]。ただし、PEEF割り当ての範囲は[（3,0）; （1,4）]から[（4,1）; （0,3）]。CEEIはその範囲内の単一のポイントにすぎません。

u_{1} = 2 x_{1} + y_{1}

$u_1 = 2 x_1 + y_1$

u_{2} = x_{2} + 2 y_{2}

$u_2 = x_2 + 2 y_2$

— Erel Segal-Halevi、2015

1

Varianの元の論文で見つかった：sciencedirect.com/science/article/pii/0022053174900751 CEEFに依存していないため、CEEIが存在しない状況でも有効であるPEEF割り当ての存在の証明（設定はありません）厳密に凸）。これまでのところ、これらの証明を理解することはできませんでしたが、それらは関連があるかもしれません。

— Erel Segal-Halevi 2015

@ ErelSegal-Haleviあなたの例では、両方のエージェントが両方の商品の厳密に正の量を取得する割り当ては、パレート効率が悪いですよね？私はあなたの範囲を理解するのに苦労しています。しかし、より一般的には、私はあなたに同意します。PEEFを直接（CEEIなしで）証明するためのセクションを追加しました。特に満足できるとは思わないかもしれませんが、今の私にはそれがすべて明白です。

— シェーン

1

あなたが正しいです。この例のPEEF割り当ての範囲は次のとおりです： where、およびここで、

[(x_{1}, 0), (4 - x_{1}, 4)]

$[(x_1,0),(4-x_1,4)]$

x_{1} \in [3, 4]

$x_1\in [3,4]$

[(4, 4 - y_{2}), (0, y_{2})]

$[(4,4-y_2),(0,y_2)]$

y_{2} \in [3, 4]

$y_2\in [3,4]$

— Erel Segal-Halevi '30 / 12/30

1

うーん...ても、すべてのインデックス作成は個人のもの。それで私はただ言っていました：「同じ家族かどうかに関係なく、2人の個人を取り上げてください...」しかし、私はこの再ラベル付けが実際に機能するかどうか疑問に思っています。なぜなら、とが同じファミリで、場合、2ではなく1単位の良いのみを使用します。ここで、リラベルの同等性について質問します。家族は（人々が同じ商品を共有しなければならないという点で）単なる制約ではなく、商品が家族内で公開/共有されるという点でもメリットがあります。

x_{i}, x_{j}, y_{i}, y_{j}

$x_i,x_j,y_i,y_j$

i

$i$

j

$j$

x_{i} = x_{j} = 1

$x_i = x_j = 1$

x

$x$

— シェーン

2

ファミリーが2つあるとします。ファミリーUにはメンバーがあり、ファミリーVにはメンバーがあります。ファミリーU のメンバー効用関数は次のとおりです：ここで、すべてのはすべてのに対して正です、 $n_u$ $n_v$ $i$

\begin{array}{rcl} {あなた}_{私} （ {バツ}_{あなた} 、 y_{あなた} ） = a_{私} {バツ}_{あなた} + y_{あなた} \end{array}

$\begin{eqnarray*} u_i(x_u, y_u) = a_ix_u + y_u \end{eqnarray*}$

a_{i}

$a_i$

i \in {1, 2, \dots, n_{u}}

$i\in\{1,2,\ldots, n_u\}$

ファミリーVのメンバー効用関数は次のとおりです：ここで、すべてのはすべてのに対して正です。 $j$

\begin{array}{rcl} v_{j} （ {バツ}_{v} 、 y_{v} ） = b_{j} {バツ}_{v} + y_{v} \end{array}

$\begin{eqnarray*} v_j(x_v, y_v) = b_jx_v + y_v \end{eqnarray*}$

b_{j}

$b_j$

j \in {1, 2, \dots, n_{v}}

$j\in\{1,2,\ldots, n_v\}$

また、ます。 $\min_i a_i \geq \max_j b_j$

との合計賦与ベクトルがます。 $X$ $Y$ $(\omega_X, \omega_Y)$

いずれかのための、定義。 $\theta \in [\max_j b_j, \min_i a_i]$ $m := \displaystyle\frac{\theta\omega_X}{2} + \frac{\omega_Y}{2}$

場合、そのチェック、次いでとはパレート効率の高い羨望のない割り当てであり、一方で、次におよびはパレート効率の高い羨望の的です割り当て。 $\displaystyle\frac{m}{\theta} \leq \omega_X$ $\displaystyle (x_u, y_u) = \left(\frac{m}{\theta}, 0\right)$ $\displaystyle (x_v, y_v) = \left(\omega_X - \frac{m}{\theta}, \omega_Y\right)$ $\displaystyle\frac{m}{\theta} > \omega_X$ $\displaystyle (x_u, y_u) = \left(\omega_X, m-\theta\omega_X\right)$ $\displaystyle (x_v, y_v) = \left(0, m\right)$

— アミット
ソース

要件の意味は何ですか？

min_{i} a_{i} \geq max_{j} b_{j}

$\min_i a_i \geq \max_j b_j$

— Erel Segal-Halevi 2017

家族のすべてのメンバーはUが高いMRS家族のV.のすべてのメンバー持っている

— アミット

2つのファミリと線形の好みの場合、この要件は削除できると思います。まだ細かい作業が必要です。

— Erel Segal-Halevi 2017

私たちは割り当てを羨望の的となるようにしたいので、この要件を取り除くのは難しいと思います。なんとなくリラックスしても状態が綺麗に表示されない場合があります。しかし、この結果は、より大きなクラスのユーティリティ関数にも当てはまります。結果を拡張して、他のタイプの設定を含めることをお勧めします。例：そのバージョンは、コブダグラスの設定でも証明できます。

— 2017

1

すべての家族のすべてのエージェントの好みが単調で凸型であると仮定します（消費者理論の標準的な仮定）。

次に、2つのファミリがある場合、パレート効率の高い羨望のない割り当てが常に存在します。ただし、3家族以上の場合は存在しない場合があります。

証拠と例はこのワーキングペーパーにあります。

— エレル・シーガル・ハレビ
ソース

-2

問題の説明は、XとYを代用することはできないことを意味しているようです（電気機器を家庭用家具として使用することはできません）。

パレート効率の高い羨望のない割り当ては、次の場合に存在します。

少なくとも1つのエージェントについて、少なくとも一部の商品はマイナスの効用を持っているか、または補完的であり、エージェントは消費しないことを選択できます。

例：

エージェントAとBは家族F1に属しています。
エージェントAの効用関数は次のとおりです。

Ua = -X1-X2-Y1-Y2

エージェントBのユーティリティ関数は次のとおりです。

Ub = X1-X2 + Y1-Y2

エージェントCとDは家族2です。
エージェントCにはユーティリティ関数があります。

Uc = -X1-X2-Y1-Y2

エージェントDにはユーティリティ機能があります。

Ud = -X1 + X2-Y1 + Y2

解決：

F1は（X1、Y1）を優先し、エージェントAは消費しないことを選択します。

F2は（X2、Y2）を優先し、エージェントCは財を消費しないように選択されています。

これらは実際には意味論的な議論であり、共通の好みを仮定しない限り、意味のある均衡はありません。

— DJシムズ
ソース

文をもっと正確にできますか？たとえば、「負の補数」とは何ですか？そして、私たちがあなたの推論を理解できるように、完全な証拠ではないにしても、少なくともその主張を裏付けるヒューリスティックな議論を提供してください。

— シェーン

[0, x_{1}]

$[0,x_1]$

回答を編集しました。あなたは2番目の点で正しいです。エージェントが消費する必要がある場合、この議論は適用されません。

— DJ Sims