消費ベースの資産価格設定における対数正規性の仮定

CRRAユーティリティを使用した非常に基本的な離散時間の代表的な消費者最大化問題を考えてみましょう。時間と共にリスク資産が存在し価格時間支払い配当価格で、及び無リスク資産で1利得定数を支払う。被除数は、マルコフ過程に従うランダム変数のシーケンスであると仮定します。さらに、消費者が他の収入源を持たないと仮定します（つまり、）。時間tに、消費者はをリスクのある資産に投資し、をリスクのない資産に投資します。したがって、最大化問題は次のように表すことができます。 $t$ $p_t$ $t+1$ $d_{t+1}$ $p_t^f$ $t+1$ $y_t = 0 \ \forall t$ $\pi_t$ $\pi_t^0$

\begin{aligned} max_{{c_{t}, π}_{0}^{\infty}} E_{0} \sum_{t = 0}^{\infty} β^{t} \frac{c_{t}^{1 - γ} - 1}{1 - γ} \\ s . t & c_{t} + π_{t} p_{t} + π_{t}^{0} p_{t}^{0} = (d_{t} + p_{t}) π_{t - 1} + π_{t - 1}^{0} \\ c_{t} \geq 0 \end{aligned}

$\begin{align*} & \underset{\{ c_t, \pi \}_0^\infty}{\text{max}} \ \ E_0 \sum_{t=0}^\infty \ \beta^t \ \frac{c_t^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} \\ \\ \ s.t \ \ \ \ & c_t + \pi_t p_t + \pi_t^0 p_t^0 = (d_t+p_t) \pi_{t-1} + \pi_{t-1}^0 \\ & c_t \geq 0 \end{align*}$

均衡無リスク金利と予想株式プレミアムを見つけたいとしましょう。モデルを閉じるために、対数消費の増加と対数リスクの高い総収益が一緒に正規分布していると仮定されることがよくあります（たとえば、Clause Munkの本「Financial Asset Pricing Theory」の章8.3）。すなわち

\begin{aligned} l n (\frac{c_{t + 1}}{c_{t}}) \equiv {\bar{g}}_{t + 1} \sim N (μ_{g}, σ_{g}^{2}) \\ l n R_{t + 1} \equiv {\bar{r}}_{t + 1} \sim N (μ_{r}, σ_{r}^{2}), \end{aligned}

$\begin{align*} & ln \ \Big(\dfrac{c_{t+1}}{c_t} \Big) \equiv \bar{g}_{t+1} \sim N(\mu_g, \sigma_g^2) \\ & ln R_{t+1} \equiv \bar{r}_{t+1} \sim N(\mu_r, \sigma_r^2) \ , \\ \end{align*}$

ここで、総収益はとして定義されます

R_{t + 1} \equiv \frac{p_{t + 1} + d_{t + 1}}{p_{t}} .

$R_{t+1} \equiv \frac{p_{t+1} + d_{t+1}}{p_t} \ .$

私が完全に理解していないのは、対数正規分布の仮定がどこから「どこから来た」のかです。これは代表的なエージェントエコノミーであるため、エージェントの消費はエコノミーの総配当と等しくなければならないことを知っています。しかし、収入がないと仮定したため、、経済における唯一の外生的配当プロセスはあり、したがって、消費の成長と同じ分布を持つ必要があります。ただし、私の印象では、リスク率に対数正規分布があると言うと、これは実際には配当プロセスを意味します。これは、リターンの定義における「ランダムな部分」であるためです（価格 $y_t = 0 \ \forall t$ $d_t$ $p_{t+1}$ 外因性ではありませんが、モデル内で決定されます）。私には、同じ寄付プロセスについて2つの異なる仮定をしたようにます。消費の前提はどこから来るのか、それは何を表すのか？消費者が収入源を持っている場合、状況はどのように変化しますか？ $d_t$ $y_t > 0$

macroeconomics consumer-theory asset-pricing

— vvv
ソース

回答:

典型的な2周期ラグランジアンは

Λ = β^{t} \cdot (\frac{c_{t}^{1 - γ} - 1}{1 - γ} + λ_{t} \cdot [(d_{t} + p_{t}) π_{t - 1} + π_{t - 1}^{0} - c_{t} - π_{t} p_{t} - π_{t}^{0} p_{t}^{0}]) + β^{t + 1} \cdot (\frac{c_{t + 1}^{1 - γ} - 1}{1 - γ} + λ_{t + 1} \cdot [(d_{t + 1} + p_{t + 1}) π_{t} + π_{t}^{0} - c_{t + 1} - π_{t + 1} p_{t + 1} - π_{t + 1}^{0} p_{t + 1}^{0}])

$\Lambda = \beta^t\cdot \Big(\frac{c_t^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} + \lambda_t\cdot \big[(d_t+p_t) \pi_{t-1} + \pi_{t-1}^0- c_t - \pi_t p_t - \pi_t^0 p_t^0\big]\Big) \\ + \beta^{t+1}\cdot \Big(\frac{c_{t+1}^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} + \lambda_{t+1}\cdot \big[(d_{t+1}+p_{t+1}) \pi_{t} + \pi_{t}^0- c_{t+1} - \pi_{t+1} p_{t+1} - \pi_{t+1}^0 p_{t+1}^0\big]\Big)$

に関する一次条件は、 $c_t, \pi_t$

\begin{matrix} (1) & c_{t}^{- γ} = λ_{t} ⟹ . . . γ \ln \frac{c_{t + 1}}{c_{t}} = \ln \frac{λ_{t}}{λ_{t + 1}} \end{matrix}

$c_t^{-\gamma} = \lambda_t \implies ... \gamma\ln \frac {c_{t+1}}{c_t} = \ln \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} \tag{1}$

\begin{matrix} (2) & - β^{t} λ_{t} p_{t} + β^{t + 1} λ_{t + 1} (d_{t + 1} + p_{t + 1}) = 0 ⟹ \frac{λ_{t}}{λ_{t + 1}} = β \frac{p_{t + 1} + d_{t + 1}}{p_{t}} \end{matrix}

$-\beta^t\lambda_tp_t + \beta^{t+1}\lambda_{t+1}(d_{t+1}+p_{t+1})=0 \implies \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} = \beta \frac{p_{t+1} + d_{t+1}}{p_t} \tag{2}$

したがって、総収益の定義も使用して、

\begin{matrix} (3) & \ln \frac{λ_{t}}{λ_{t + 1}} = \ln β + \ln R_{t + 1} \end{matrix}

$\ln \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} = \ln \beta + \ln R_{t+1} \tag{3}$

とを組み合わせると $(1)$ $(3)$

\begin{matrix} (4) & \ln \frac{c_{t + 1}}{c_{t}} = \frac{1}{γ} \ln β + \frac{1}{γ} \ln R_{t + 1} \end{matrix}

$\ln \frac {c_{t+1}}{c_t} = \frac 1 {\gamma}\ln \beta + \frac 1 {\gamma}\ln R_{t+1} \tag{4}$

したがって、最適な経路では、消費の増加は対数リスクリターンの直接的なアフィン関数であることがわかります。これはとりわけ、それらの相関係数が1に等しいことを意味します。

正規分布は（あるいは、スケーリング及びシフトの下で）ので、アフィン変換の下では閉じている場合、我々はそのログ危険なリターンが正規分布していると仮定し、次いで消費成長はまた、通常（もちろん異なる平均及び分散で）分配されます。

一般に、結合正規性の仮定は、2つの正規確率変数が独立でない場合に行われる追加の仮定ですが、ここでは、一方が他方のアフィン関数であるという事実により、結合正規性が保証されます。2変量正規性に関するCramerの条件により、2つの正規確率変数のすべての線形結合が1変量正規分布を持っている必要があります。私たちのケースでは、ランダムな変数とランダムな変数（ジェネリック表記）があります。検討する $Y$ $X = a+bY$

δ_{1} X + δ_{2} Y = δ_{1} (a + b Y) + δ_{2} Y = δ_{1} a + (δ_{1} b + δ_{2}) Y

$\delta_1X + \delta_2 Y = \delta_1(a+bY) + \delta_2 Y = \delta_1a + (\delta_1b+\delta_2)Y$

そうするためには、任意の（事前に除外される零ベクトル以外）、場合は正規分布に従うありません。したがって、対数リスクリターンが正規分布に従うと仮定すれば、共同正規性も得られます。 $(\delta_1, \delta_2)$ $\delta_1X + \delta_2 Y$ $Y$

— アレコスパパドプロス
ソース

これは古い答えですが、述べたように、この答えは誤りです。確率論的要素の存在下でラグランジュ乗数を使用する場合は注意が必要です。計算を適切に行うと、標準的な資産価格の計算式しか得られなくなります-計算では、最適化に注意していないため、期待値が失われます。（これを別の言い方をすると、最適化問題にはではなく制約が必要です。ここで、は期間で可能な自然状態の数です。）

E (m R) = 1

$\mathbb E(mR) = 1$

s + 1

$s+1$

2

$2$

s

$s$

t + 1

$t+1$

— Starfall

@Starfall入力いただきありがとうございます。古いかどうか、誤ったコンテンツを修正する必要があります。もう一度答えを確認して、何ができるか見てみます。一見すると、乗数と項の間の共分散は無視されていることを意味していると思います。

t + 1

$t+1$

p_{t + 1}, d_{t + 1}

$p_{t+1}, d_{t+1}$

— Alecos Papadopoulos

無視されたのは共分散だけではありません。それが唯一の問題である場合、になり、割引係数の期待値のみが関係します。期待されるリターン。答えはで終わりますが、割引係数とリターンの間の事後関係であり、自然のあらゆる状態で保持されます。問題は、問題の自然のさまざまな状態を明示せずに、確率変数でラグランジュ乗数を使用できないことです。

E (m) E (R) = 1

$\mathbb E(m) \mathbb E(R) = 1$

m R = 1

$mR = 1$

— スターフォール

場合に用語が不明確であり、、この問題に。

R = (p_{t + 1} + d_{t + 1}) / p_{t}

$R = (p_{t+1} + d_{t+1})/p_t$

m = β (c_{t + 1} / c_{t})^{- γ}

$m = \beta (c_{t+1} / c_t)^{-\gamma}$

— スターフォール

@Starfallうーん...ここでの問題は、実際にフォローされているディストリビューションであり、事前の解決策ではありません...私はそれを十分に検討し、後で詳しく説明します。

— アレコスパパドプロス

私は最近、すべての資産および負債クラスのリターンの分布を導き出す論文を作成しました。対数正規戻りは、2つの場合にのみ表示されます。1つ目は単一期間の割引債、2つ目は株式現金合併です。それは仮定から来ている、私はもともとボネスによって無限に負の価格のマルコヴィッツの問題を排除すると信じています。論理的に導出されたものですが、一般的には真実ではないという重大な前提があります。

ほとんどの財務モデルでは、パラメーターは確率1で既知であると想定しています。は既知であると想定されているため、で推定する必要はありません。表面的には、これは帰無仮説に基づく方法の一般的な方法論であるため、問題ではありません。nullがtrueであることをアサートすると、パラメーターが認識され、このnullに対してテストが行われます。 $\mu$ $\bar{x}$

パラメータが不明な場合に問題が発生します。一般に、その仮定なしに証明が崩壊することがわかります。同じことがブラック・ショールズにも当てはまります。私は今春のSWFA会議で論文を発表しています。ブラックショールズの公式の仮定が文字通り真である場合、母集団パラメーターに収束する推定量は存在できないと私は主張します。誰もが、完全な知識の下で公式がパラメータ推定器に等しいと仮定しました。実際にそのプロパティを確認した人はいません。彼らの最初の論文で、Black and Scholesは彼らの処方を経験的にテストし、彼らはそれがうまくいかなかったと報告した。パラメータが既知であるという仮定を落とすと、計算は異なったものになります。同じように考えることができないほど十分に異なります。

ニューヨーク証券取引所の株式証券の場合を考えてみましょう。それはダブルオークションで取引されているので、勝者の呪いは得られません。このため、合理的な動作は、価格が等しい指値注文を作成することです。買い手と売り手がたくさんいるので、リミットブックは静的に正常である必要があります。少なくとも、買い手と売り手の数が無限に増えると、それはそうなります。つまり、は、平衡価格であるについて静的に正常です。 $\mathbb{E}(p_t),\forall{t}$ $p_t$ $p_t^*$

もちろん、の分布は無視しています。分割と株式配当を無視すると、存在し続けるか存在しないかのどちらかになります。そのため、株式ストックリターン、株式キャッシュリターン、および破産の混合分布を作成する必要があります。単純化のためにこれらのケースは無視しますが、そうすることでオプション価格設定モデルを解くことができなくなります。 $(q_t,q_{t+1})$

したがって、に制限してすべての被除数を仮定すると、リターンは、平衡に関する2つの法線の比率になります。混乱を招くため、配当金は除外します。テキストのページを次々に消費する奇妙な結果が出るため、2008年の金融危機などのケースは除外します。 $r_t=\frac{p_{t+1}}{p_t}$

データをからに変換し、を定義すると、分布を簡単に確認できます。よく知られている定理により、負債の制限または時間間の予算制約がない場合、収益の密度は、平均も分散もないコーシー分布でなければなりません。すべてを価格空間に戻すと、密度は $(p_t^*,p_{t+1}^*)$ $(0,0)$ $\mu=\frac{p_{t+1}^*}{p_t^*}$

\frac{1}{π} \frac{σ}{σ^{2} + (r_{t} - μ)^{2}} .

$\frac{1}{\pi}\frac{\sigma}{\sigma^2+(r_t-\mu)^2}.$

意味はないので、期待値をとることができず、atまたはFテストを実行できず、任意の形式の最小二乗法を使用できます。もちろん、それが代わりに骨董品だった場合、これは異なります。

それがオークションの骨董品だった場合、勝者の呪いが獲得します。高い入札者が入札に勝ち、高い入札の制限密度はガンベル分布です。したがって、同じ問題を2つの正規分布ではなく2つのガンベル分布の比率として解決します。

問題は実際にはこれほど単純ではありません。責任の制限により、基礎となるすべてのディストリビューションが切り捨てられます。異時点間の予算制約は、すべての基礎となる分布を歪めます。上記のように、配当金、現金の合併、株式または不動産の合併、破産、および懸念事項の切り捨てられたコーシー分布には異なる分布があります。株式には、6種類の分布が存在します。

異なるルールと異なる存在状態を持つ異なる市場は、異なる分布を作成します。アンティーク花瓶は、落として粉々にする場合があります。また、磨耗やその他の本質的な品質の変化の場合もあります。最後に、同様の花瓶が十分に破壊された場合、場所の中心が移動する場合もあります。

最後に、打ち切りとパラメーターの十分な統計がないため、計算可能で許容可能な非ベイズ推定量は存在しません。

2つの正規変量の比率の導出と説明は、http： //mathworld.wolfram.com/NormalRatioDistribution.htmlで見つけることができます。

また、トピックに関する最初の論文のように見えるものを見つけることができます

Curtiss、JH（1941）2つの確率変数の商の分布について。数学的統計の年報、12、409-421。

でフォローアップペーパーもあります

ガーランドJ.（1948）比率の分布の反転式。数学的統計の年報、19、228-237

尤度法および頻度法の自己回帰形式については、

ホワイト、JS（1958）爆発的なケースでのシリアル相関係数の限界分布。数学的統計の年報、29、1188-1197、

とラオによるその一般化

Rao、MM（1961）爆発確率差分方程式におけるパラメータの推定量の整合性と限界分布。数学的統計の年報、32、195-218

私の論文では、Koopmanによる論文やJaynesによる論文など、これら4つの論文と他の論文を使用して、真のパラメーターが不明な場合の分布を構築しています。それは、上記の白書がベイジアン解釈を持ち、非ベイジアン解が存在しなくてもベイジアン解を許可することを認めています。

ことに注意してくださいますか有限の平均と分散を持っていますが、ノー共分散構造を。分布は双曲線正割分布です。これも統計でよく知られている結果によるものです。破産、合併、配当などのサイドケースがあるため、実際には双曲線割線の分布になることはできません。存在するケースは付加的ですが、ログは乗法的エラーを意味します。 $\log(R)$

双曲線セカント分布に関する記事は、次の場所にあります。

Ding、P.（2014）双曲線割線分布の3つの発生。アメリカの統計家、68、32-35

私の記事は

ハリスD.（2017）返品の分配。Journal of Mathematical Finance、7、769-804

私の本を読む前に、まず上記の4つの論文を読んでください。また、ET Jaynes tomeを読んでも害はありません。残念ながらそれは論争的な仕事ですが、それでも厳格です。彼の本は：

Jaynes、ET（2003）確率論：科学の言語。ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、205-207

— デイブ・ハリス
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