独占が最も有害な需要関数は何ですか？

限界費用がゼロの会社を考えてみましょう。それが無料で製品を提供する場合、すべての需要は満たされ、社会福祉は可能な限り最大になります。これをと呼び。 $W$

しかし、会社は独占企業であるため、収益を最適化するために需要を減らし、価格を上げます。これで社会福祉は少しだけ、例えばだけ増加します。 $V$

福祉の相対的な損失（重荷の損失）をとして定義します。この比率は、需要関数の形状に依存します。だから私の質問は：この比率は有界ですか、それとも任意に大きくできますか？特に： $W/V$

場合は制限され、その後、どのような需要の機能のためにそれが最大のですか？ $W/V$
場合は無制限で、その後、需要関数のどのような家族のためには、任意の大きさになることができますか？ $W/V$

これが私が今までに試したことです。してみましょう（も逆需要関数である）消費者の限界効用関数です。有限で滑らかで単調に減少し、ドメインスケーリングされていると仮定します。してみましょう、その抗誘導体であること。次に： $u(x)$ $x\in[0,1]$ $U(x)$

独占死亡重量損失

$W = U(1)-U(0)$ 、下の総面積。 $u$
$V = U(x_m)-U(0)$ 、ここでは独占によって生み出された量です。これは、「デッドウェイトロス」の部分を除いて、下の領域です。 $x_m$ $u$
$x_m = \arg \max (x \cdot u(x))$ =プロデューサーの収入を最大にする数量（マークされた長方形）。
$x_m$ は通常、1次条件を使用して計算できます：。 $u(x_m) = -x_m u'(x_m)$

動作を理解するために、関数ファミリをいくつか試しました。 $W/V$

ましょうここで、パラメータです。次に： $u(x)=(1-x)^{t-1}$ $t>1$

$U(x)=-(1-x)^{t}/t$ 。

一次条件は、を与えます。 $x_m=1/t$

$W=U(1)-U(0) = 1/t$

$V=U(x_m)-U(0)=(1-(\frac{t-1}{t})^{t})/t$

$W/V=1/[1-(\frac{t-1}{t})^{t}]$

とき、ので、この家族のために、制限されています。 $t\to\infty$ $W/V \to 1/(1-1/e)\approx 1.58$ $W/V$

しかし、他の家族はどうなりますか？次に別の例を示します。

みよう、パラメータです。次に： $u(x)=e^{-t x}$ $t>0$

$U(x)=-e^{-t x}/t$ 。

一次条件は、を与えます。 $x_m=1/t$

$W=U(1)-U(0) = (1-e^{-t})/t$

$V=U(x_m)-U(0)=(1-e^{-1})/t$

$W/V=(1-e^{-t})/(1-e^{-1})$

とき、再び、ので、ここで再び制限されています。 $t\to\infty$ $W/V \to 1/(1-1/e)\approx 1.58$ $W/V$

そして、私が数値的に解かなければならなかった3番目の例：

してみましょう、パラメータです。次に： $u(x)=\ln(a-x)$ $a>2$

$U(x)=-(a-x)log(a-x)-x$ です。

一次条件は、与えます。このデスモスグラフを使用して、であることがわかりました。もちろん、このソリューションは場合にのみ有効です。それ以外の場合、なり、デッドウェイトの損失はありません。 $x_m=(a-x_m)\ln(a-x_m)$ $x_m \approx 0.55(a-1)$ $0.55(a-1)\leq 1$ $x_m=1$

同じグラフを使用して、私はそれが判明用いて減少している場合、そのsupremum値であるので、、そしてそれは約1.3です。 $W/V$ $a$ $a=2$

が無限に成長できる別の有限関数ファミリーはありますか？ $W/V$

— エレル・シーガル・ハレビ
ソース

限界費用がゼロであっても、製造コストがゼロであることを意味するわけではありません。製品が無料で配布された場合、誰がこの費用の負担を負うのでしょうか。その場合、社会福祉はどのような意味で最大化されますか？

— Alecos Papadopoulos 2015

「u（x）を消費者の効用関数（逆需要関数でもある）にしましょう。」消費者のユーティリティ関数ではありませんか？

.

$.$

marginal

$\texttt{marginal}$

— callculus、2015

それをほとんど読んでいない場合、有害なのは社会福祉の概念と、これら2つをどのように重み付けするかによって異なります。家計の黒字だけを見ると、価格弾力性が小さいほど、企業はより多くの黒字を得ることができます。したがって、D(p) = x消費者余剰に注目すると、需要関数は「最悪」です。

— FooBar 2015

@AlecosPapadopoulosとは、貿易だけに起因する社会福祉の増加を意味していました（多分私はと呼んでいたはずです）。この意味で、生産コストは重要ではありません。

W

$W$

Δ W

$\Delta W$

— Erel Segal-Halevi 2015

@calculusあなたは正しい、私はこれを修正した、ありがとう！

— Erel Segal-Halevi 2015

需要曲線で任意の大きな比率が発生するはずです

$P=\begin{cases} \frac{1}{Q} & \text{if } Q>1 \\ 2-Q & \text{if } Q\leq 1 \\ \end{cases}$ 。

での独占価格ですが、需要曲線の下の領域にはが含まれているため、場合の消費者余剰は無限です。 $P=1$ $P=0$ $\int_1^\infty \frac{1}{Q}dQ=\infty$

— サンダーハイインサル
ソース

ありがとう！この問題が議論されている参照はありますか？私はそれがmircoeconomicsの標準的な教科書に現れると期待していましたが、私が見たどの本にも見つかりませんでした。

— Erel Segal-Halevi 2015

参考文献を知りません、申し訳ありません。

— Sander Heinsalu 2015