限界効用の減少についていつ安全に話すことができますか？

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私がよく聞くことの1つは、限界効用の減少についての話です。つまり、財の追加のユニットは、その財のユニットがすでに多くなるほど、徐々に魅力が少なくなるという考えです。

しかし、これは実用性の常識のために、いつも少し不快になりました。（限界効用の減少を満たす効用 1つだけある世界の些細な場合を考えると、明らかに構築することが可能です。増加関数ようにリニアであり。また、ユーティリティ関数は、単調増加の変換に対して不変であるので、と同じ嗜好を表す効用関数である（今一定の限界効用を有しています）。したがって、単一の財がある世界では、限界効用の減少について話すことは意味をなさないようです。 $u(x)$ $u'(x),\ u''(x)<0$ $f$ $(f\circ u)$ $x$ $(f\circ u)$ $u$

私の質問はこれです： $L>1$ 商品の市場を考えてください。限界効用の減少について安全に話し合うことができる正式な条件はありますか？つまり、すべての有効なユーティリティ表現が一部のに対してを $u(\mathbf{x})$ 持つようなプリファレンスのクラスがありますか？ $u_{ii}(\mathbf{x})<0$ $i$

または、 $L>1$ 場合、一部のでユーティリティ表現が存在することは、すべてのユーティリティ表現が？ $u_{ii}(\mathbf{x})<0$ $i$ $u_{ii}(\mathbf{x})<0$

— ユビキタス
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Dittmer（2005）はこれについて少し詳しく説明しています。入門レベルでは、「限界効用の減少」（DMU）と呼ばれるものがあることを学生に教えます。次に、中間レベルと大学院レベルで、ユーティリティは突然、DMUなど存在し得ない通常の概念になります。ですから、イントロから中級レベルに行くとき、大きな矛盾があります。この不一致は通常、ほとんどの生徒には気付かれず、教師には説明されません。

— ケニーLJ 2016年

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「限界効用」という概念（したがって、そのような効用を減らすという概念）は、基本効用の文脈でのみ意味を持ちます。

単一の財について順序ユーティリティインデックス、この財の3つの数量あり、ます。プリファレンスは適切に動作し、ベンチマークの定期的な条件を満たすため、 $u()$ $q_1<q_2<q_3$ $q_2-q_1 = q_3-q_2$

あなた （ q_{1} ） < あなた （ q_{2} ） < あなた （ q_{３} ）

$u(q_1)< u(q_2) < u(q_3)$

これは通常のユーティリティです。距離ではなく、ランキングのみが意味があります。したがって、距離およびは、行動/経済的解釈がありません。そうでない場合は、比率も行いません $u(q_2) - u(q_1)$ $u(q_3) - u(q_2)$

\frac{あなた （ q_{2} ） - あなた （ q_{1} ）}{q_{2} - q_{1}} 、 \frac{あなた （ q_{３} ） - あなた （ q_{2} ）}{q_{３} - q_{2}}

$\frac {u(q_2) - u(q_1)}{q_2-q_1},\;\; \frac {u(q_3) - u(q_2)}{q_3-q_2}$

しかし、分母がゼロになるときのこれらの比率の制限は、関数導関数の定義になります。したがって、導関数には経済的/行動的解釈がないため、導関数の2つのインスタンスを比較しても意味のあるコンテンツは生成されません。 $u()$

もちろん、これは導関数が数学的概念として存在しないことを意味しません。が微分可能性に必要な条件を満たす場合、それらは存在できます。したがって、「順序効用を表す関数が厳密に負の2次導関数を持つ条件」（または多変量の場合は負の明確なヘッセ行列）の純粋に数学的な質問をして、経済的/行動的な内容で「限界効用の減少」と解釈しないようにできます。、しかし彼が検討するモデルで何らかの役割を果たすかもしれない単なる数学的特性として。 $u()$ $u()$

そのような場合、私たちは次のことを知っています：
1）設定が凸状である場合、効用指数は疑似凹関数です
2）好みが完全に凸状である場合、効用指数は厳密に疑似凹です

しかし、準凹面は凹面とは異なる種類のプロパティです。疑似凹面は、関数の増加する変換の下で保存されるという意味で「通常の」プロパティです。

一方、凹面は、「基本的な」特性であり、増加する変換の下で必ずしも保持されるわけではありません。
これが意味するものを考えてみましょう：私たちは、彼らがで表すことができるように好みの特性を見つけることを前提としてい関数として凹面であるユーティリティインデックスを。次に、このユーティリティインデックスの変換を増やして実装し、凹面のプロパティを削除します。

— アレコスパパドプロス
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「安全性」について尋ねるという事実は、結果が危険にさらされていると信じていることを意味します。この答えは、考えているかもしれない結果を指定できれば改善できます。それ以外の場合は、第1および第2の福祉定理を例として取り上げます。彼らは限界効用の減少に依存していない。

不確実性よりも優先に関する結果（リスク回避などに関するアイデア）が気になる場合は、不確実性のない優先の標準効用関数表現は正の単調変換まで一意であるが、フォンノイマンモルゲンスターン効用関数表現は不確実性よりも優先度が高いのは、正のアフィン変換までのみです。

編集：追記。

効用関数の定義は次のとおりです（2011年のJehle and RenyによるAdvanced Microeconomic Theoryから）。ここに画像の説明を入力してください

— jmbejara
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