経済学における基本方程式

他の科学にとっては、この分野を支える最も重要な方程式を簡単に指摘することができます。私が経済学を物理学者に説明したいのなら、私が紹介し、説明しようとする主題の根底にある最も重要な方程式は何だと考えられますか。

具体的な方程式を提案する代わりに、2つの概念を指摘します。 鉛 特定の理論的設定に対する特定の方程式

A）均衡
経済学における最も基本的で最も誤解されている概念。人々は周りを見回し、絶え間ない動きを見ています。したがって、ここでの仕事は、経済学がほとんどの場合物事であるという観察をモデル化することを伝えることです。 傾向がある この「定点」を特徴づけることによって「落ち着く」ために、それは私たちにこの均衡の外側と周りの動きを理解するためのアンカーを与える（もちろん変化するかもしれない）。

それは ではない という場合 供給量は要求量に等しい 「（これは基礎方程式です）

$$ Q_d = Q_s $$

しかしそれ です その場合 等しい傾向がある 需要（ 何でも ）どんな経済学者でも聞きたいと思う人に説得力を持って出席できるべきであるという理由で（そして深く彼らは皆有限の資源と関係がある）。

また、均衡の条件を決定することによって、発散を観察したときにどの条件が破られたのかを理解することができます。

Ｂ）制約下での限界最適化
で 静的環境 それは限界量/関数の一次導関数の方程式に導く。
商品マーケット： 限界収入は限界費用に等しい 。
入力市場： 限界収入積は限界報酬に等しい （家賃、賃金）。
（ここでは最初に、この「効用指数」とは何か、そして私達がどれほど狂っているのかを提示しなければならないので、私は意図的にこの図から「効用最大化」を残しました。 ではない ）、効用の概念を通して人間の「楽しさ」をモデル化しようとすることによって）。

他の質問で示唆されているように、「限界利益と限界費用が等しい」という傘の下でそれをすべてカバーできます。

$$ MB = MC $$

経済学者は限界最適化に住んでいて、ほとんど自明であると考えています。しかし、あなたがそれを部外者に説明しようとするならば、彼が異議を唱えるか、または納得しないままでいるというかなりの可能性があります。彼らはそうしていると主張し、彼らの思考過程はモデル化できるだけである かのように 彼らはいた）。それで、説得力のある例と「なぜ平均的最適化ではないか」についての議論で、限界最適化について彼の話をまっすぐにしなければなりません。

で 異時点間設定 それは、「現在と未来」の間のトレードオフにつながります。 「消費におけるオイラー方程式」 、それはその離散的な決定論的なバージョンで読む

$$ u '（c_ {t}）= \ beta（1 + r_ {t + 1}）u'（c_ {t + 1}）$$

...そして効用のテーマを避けることはできません。結局のところ、$ u '（）$は消費からの限界効用、$ 0＆lt; \ beta＆lt; 1 $は割引率、$ r_ {t + 1} $は金利

（ しない オイラーの消費方程式に関するウィキペディアの記事を参照してください。その背後にある概念は、ウィキペディアの記事で説明している特定のアプリケーションよりもはるかに一般的に適用可能で基本的なものです。

興味深いことに、動的経済学はより技術的に要求されていますが、「今日の貯蓄が明日の消費量を決定する」よりもはるかに直感的に魅力的であるように思われます。労働者が雇用した "。

すでに述べたように、MOSTの基本方程式は確かに次のとおりです。 $$ \ text {MB} = \ text {MC} $$

編集：この方程式は、経済学者の考え方の観点から基本的なものです。以下のコメントで指摘されているように、経済モデルの基本方程式に関して、最も基本的な方程式はアイテムの使用と供給（貨幣、商品など）の間の等価性を表しています。これらは、この式の限界コスト側の緊張感を与えます。

比較統計に関連する方程式を追加します。

• エンベロープ定理 $$ V ^ \ prime（y）= f_y（x、y）$$
• 「デルタ」分析 Samuelsonの経済分析の基礎で説明されているように、 $$ \ Delta p \ Delta y - \ Delta w \ Delta x \ geq0 $$ （これは、価格$ p $と$ w $に対する、生産$ y $のベクトルとインプット$ x $の使用という観点から、価格を生産する生産者の反応を調べます、本質的に生産者の好みを明らかにしました）
• 明らかにされた好み

我々が絶えず使用する方程式を持つゲーム理論家や数学者を主張することができるなら：

• Karush-Kuhn-Tuckerの条件 特に補完的なたるみ。線形計画法には単一の方程式はありませんが、econにはKantorovichに対する主張もあります。 \ 定常性： $$ \ nabla f（x ^ *）= \ sum_ {i = 1} ^ m \ mu_i \ nabla g_i（x ^ *）+ \ sum_ {j = 1} ^ l \ lambda_j \ nabla h_j（x ^ *） $$ 主な実現可能性： $$ g_i（x ^ *）\ le 0、\ mbox {すべての} i = 1、\ ldots、m $$ $$ h_j（x ^ *）= 0、\ mbox {すべて} j = 1、\ ldots、l \、\！$$ 二重の実現可能性： $$ \ mu_i \ ge 0、\ mbox {すべて} i = 1、\ ldots、m $$ 相補的なたるみ： $$ \ mu_i g_i（x ^ *）= 0、\ mbox {すべての} \; i = 1、\ ldots、m $$
• ナッシュ均衡 $$ \ theta_ {i} ^ \ star = \ arg \ max _ {\ theta_i} u_i（\ theta_i、\ theta _ { - i} ^ \ star）$$
• 啓示の原則 ：どちらが公正であることは定理ほど方程式ではありません...
• ベルマン方程式 $$ V（x）= \ max_ {c \ in \ Omega（x）} U（x、z）+ \ beta \ left [V（x ^ \ prime）\ right] $$

イントロ経済のほとんどは交差する線です。具体的には、

$$ MB = MC $$ 限界利益が限界費用に等しい場合、平衡が達成されます。

$$ \ dfrac {MU_x} {p_x} = \ dfrac {MU_y} {p_y} 単価あたりの限界効用は常に等しいはずです

経済学は人間の行動の論理、私たちがいかに不足している世界で決定を下すかについてです。これらの方程式は、連続性、凸面の優先、およびコーナーなしの解など、いくつかの通常の仮定の下での制約付き最適化を表します。私は生産者よりも消費者理論にも注目を集めるでしょう。学部生の生産者理論のほとんどは、消費者理論で使用されているものと同じツールで理解できます。

私は（少なくともマクロ経済学の範囲内で）最も重要な方程式の1つが次のようになると思います。

$$ E \ left [m R \ right] = 1 $$

この式は、多くの基本的な結果を導き出すために使用されてきました。この方程式は、 ハンセン - ジャガナタン行き 。それも資産価格設定の基本です。

また、私がかつてTom Sargentから見た興味深いものもあります。標準モデルに対して確率論的な割​​引係数を使用すると、次のようになります。$ m = \ beta E_t \ leftあなたが外生的であることを可能にする方程式のあなたはマクロのいくつかの基本的な結果を得ることができます：

• 恒常所得仮説：$ \ beta R = 1 $とすると、$ c_t = E [c_ {t + 1}] $となります。
• ルーカスアセットプライシングモデル：消費のプロセスが与えられたとしよう。その場合、資産の価格は次のように記述できます。$ R_t ^ { - 1} = p_t = E

Roger Myersonが、社会科学として、経済学が数学を応用するのに非常に成功した（または容易に組み込まれた）と思った理由について話したことがあります。彼はおそらくそれが世界内のいくつかの基本的な直線性によるものであることを示唆しました。 2つの例は、乏しい財のフローバランス制約（商品制約）と 無裁定取引条件これらは基本的に線形の制約です。

• 2つのうち驚くべき量を得ることができるので、これらの重要性を強調することは重要です。例えば、需要の法則は合理性（具体的には限界限界代入率の減少を示す選好）を仮定した結果であると多くの人が考える。 Gary Beckerによる結果は、需要の法則（わずかに弱いバージョンではありますが）を導出できることを示しています。 予算の制約だけから 。 （Becker 1962を参照してください。 " 不合理な行動と経済理論 つまり、この根本的な経済的結果は、合理性を仮定することなく、乏しい資源だけの現実から導き出すことができます。

• 無裁定取引条件は、線形双対定理の応用です。 ファーカスの補題 ）経済均衡において裁定取引がないという仮定によって、多くの経済学と金融（資産価格）を行うことができます。

追加のメモ：

Gary Beckerは、制約が人間の行動に与える影響を研究することによって、この分野で多くの進歩を遂げました。ノーベル賞の講演から引用された有名な引用の1つは、「さまざまな制約はさまざまな状況にとって決定的に重要ですが、最も基本的な制約は時間が限られていること」です。 （いくつかの議論 ここに この点に関する彼の仕事がどのように見つけられるかについてのもう少しのリソース ここに そして ここに 。

線形二元性は、アービトラージなしの状態を表すために使用できます。より一般的には、この定理は通常次のように証明されます。 超平面分離定理 これは、経済学の教科書によく登場する数学的ツールです。

また、経済的均衡において、 ほぼ裁定取引ではありません。

私はJyotirmoy Bhattacharyaに同意しますが、経済学における最も興味深い考えは必ずしも方程式で表現されるのが最も良いわけではありませんが、それでもSlutskyまたは消費者理論からの補償された需要の法則について言及したいと思います。

$$（p '-p）\ Big [x \ big（p'、p 'x（p、w）\ big） - x \ big（p、w \ big）\ Big] ^ T \ leq 0、$ $

ここで、$ p '、p \ in \ mathbb {R} _ {++} ^ n $は任意の2つの価格ベクトル、$ w \ in \ mathbb {R} _ + $は任意の収入レベル、$ x（\ cdot、\ cdot）\ in \ mathbb {R} ^ n $は要求関数です。

根本的な関係は、他の分野の基本的な方程式とは一線を画したものです。また、それはそれほど頻繁に使用されていないという意味で、規律を根拠としていません。

しかし、私はそれを根本的なものと見なす傾向があります。

• それは 絶対に自明ではない 消費者理論における3つの単純で基本的な仮定の結果
  • 需要関数$ x（\ cdot、\ cdot）$が次数0の同次関数であること（お金の錯覚なし）
  • ワラスの法則（人々はお金を燃やさない）
  • 明らかにされた好みの弱い公理（Bが「今日」利用可能であるときにAを選択した場合、Aが利用可能である場合はB「明日」を選択しません）
• したがって、不等式をテストすることは、これら3つの仮定をまとめてテストすることと同じです。
• 3つの仮定は、経済理論の消費者を含むモデルの大多数（おそらく90％以上？）で使用されています。
• したがって、それらの妥当性（少なくとも近似値として）は、（少なくとも近似値として）経済理論におけるほとんどのモデルの妥当性にとって極めて重要です。
• 価格、財、所得の概念をどのように観測量に関連付けるかは必ずしも明らかではありませんが、方程式のすべての要素は観測可能です。 原則として （例えば効用レベルとは対照的に）不等式の妥当性はそれ故経験的に試験することができる。

私は、物理学におけるマクスウェルの方程式と同じステータスを持つ経済学の方程式があるとは思わない。その代わりに、我々は、「経済学者のアプローチ」の中核となる、等辺主義、競争均衡、ナッシュ均衡といった概念を持っています。しかし私は、経済学の真の価値はこれらのアイデア自体でもなく、アプリケーションの特定の分野における具体的な問題について知っていること、たとえばマクロの景気循環について知っていることにあると思います。この経済学では物理学より医学のようなものになるかもしれません。

私にとって、最も重要なものの一つは予算の制約です。それはあまりにも明白に見えるかもしれませんが、多くの素人（多分物理学者ではないかもしれません）はそれを得ません！

$ p・x \ leq w $

Slutskyの式のように根本的なものではありませんが、価格がp $、コストが$ c $、そして価格の弾力性が最大の利益最大化企業があるというLernerインデックスの条件 $$ \ frac {p-c} {p} = - \ frac {1} {\ eta} $$ 産業組織における重要な方程式です。

これは会社の問題を解決するための洗練された定式化であるだけでなく、実際にも有用です。

• その$ \ eta $を推定し、その$ c $を知っている会社は、利益を最大化する価格を計算するためにこの公式を使うことができます。
• $ p $を観察し、$ \ eta $を推定する規制当局は、式を使用して$ c $を計算できます。これは、多くの規制形態において重要です。

すでに書かれていますが、連続時間におけるオイラー方程式は

$$ \ frac {\ dot {C}} {C} = \ sigma（r- \ rho）$$

ここで、$ \ sigma $は置換のテンポラルな弾力性、$ r $金利、$ \ rho $は割引率です（焦りの程度）。

異時間経済学の基盤は 正味現在価値方程式 。すなわち、将来の所得ストリームの正味現在価値は、年間の収入を適切な割引率で割ったものであり、これは一般的な利率rをn乗したものに基づきます。ここで、nは年数です。

ゲームには少し遅れましたが、OLSの推定値を計算するための方程式を誰も挙げていないのは驚きです。 $$ \ hat \ beta =（X'X）^ { - 1} X'y $$

ミクロ経済学にとっても、いくつかありますが、それらはすべて同じパターンに従っています。

ここで私は1つの記事で全体のミクロ経済学のコース全体を教えることを試みます。

ほとんどのミクロ経済学の問題はこのフォーマットに従います。

いくつかの細かい点は省きますが、十分なミクロ経済学を実践すると、問題はしばらくしても同じように見えます。これが私が共有したことです。

生産/ユーティリティ機能

中級ミクロ経済学コースで利用されるユーティリティ/生産機能には、主に3つのタイプがあります。 ¹ 。彼らです：

1. コブダグラス
   $$ f（x_1、x_2）= x_1 ^ ax_2 ^ b $$
2. レオンティフ/パーフェクトコンプリート
   $$ f（x_1、x_2）= \ min \ {x_1、x_2 \} $$
3. 完璧な代用品 $$ f（x_1、x_2）= x_1 + x_2 $$

予算ラインと原価関数

消費者理論では、式で表される予算線があります。

$$ m = p_1x_1 + p_2x_2 $$

プロデューサー理論では、これをコスト関数と呼んでいます。 $$ C（x_1、x_2）= w_1x_1 + w_2x_2 $$

予算/コスト関数を考慮して消費を最大化するか、またはユーティリティ/出力レベルを一定に保ちながらコストを最小化するかのいずれかです。これを行うには、別の方程式を使います。

ラグランジュ乗数：

言うまでもなく経済学のツールに排他的ではありませんが、それはすべての中級ミクロ経済学の学生の主なツールです。

$$ \ mathcal {L} = f（x_1、x_2）\ pm \ lambda（H-g（x_1、x_2））$$

ここで、$ H-g（x_1、x_2）$は、予算ライン/コスト関数または公益事業/生産関数のいずれかです。

我々は、消費バンドル/インプットを最大化する効用/利益を計算するため、または利益/効用を一定に保ちながらコストを最小化するためにこれを使用する。

そしてそれはラップです！*

_{*マーシャルとヒックシアンの要求について言うべきことがありますが、私は他の人が記入するためにそれを残します。}