輻輳ゲームの準モジュラリティ？

してみましょうなる -playersと -elements 混雑ゲーム。 $G$ $n$ $m$

平衡場合、 $e$

S U P (e) ≜< s u p_{1} (e), s u p_{2} (e), \dots, s u p_{n} (e) >

$SUP(e)\triangleq<sup_1(e),sup_2(e),\ldots, sup_n(e)>$

どこ $sup_i(e)$ のサポートが含ま $i$ 番目のプレーヤーの演奏 $e$ （戦略のセット $i$ 肯定確率でプレーを）。

また、場合、、つまり、すべてのプレイヤーがサブセットに対するアクションをランダム化すると彼が演奏選択した可能性のあるアクションの。 $SUP(e)\subseteq SUP(e')$ $\forall i\in[n]: sup_i(e)\subseteq sup_i(e')$ $e$ $e'$

最後の定義の1つは、社会的コスト $SC(e)$ あり、これはプレイヤーのコストの合計として定義されます。

ましょう $e,e'$ 用の2つの（おそらく混合）equilibriumsも $G$ 。

DOES
$S うん P （ e ） \subseteq S うん P （ e^{'} ）$ $SUP(e)\subseteq SUP(e')$ を意味するもので $S C （ e ） \leq S C （ e^{'} ）$ $SC(e) \leq SC(e')$ ？

game-theory nash-equilibrium congestion-games

— RB
ソース

と言うつもりでした

S C (e) \geq S C (e^{'})

$SC(e)\geq SC(e')$ か？直観的には、より少ない要素の周りに均衡プレイを集中させると、各要素がより混雑するようになると考えるでしょう。

— ユビキタス

@ユビキタス-それはまったく逆だと思います。各プレーヤーは、より少ない要素に集中しています。つまり、各要素を使用しているプレーヤーはより少なくなっています。各プレイヤーが要素のサブセットを選択し、これがまだ均衡であるという事実は、社会がそこから利益を得ていることを意味する可能性があります（そうでなければ、プレイヤーはより多くの要素を使用することに逸脱する可能性が高いようです）。

— RB

コスト関数（遅延）に依存します。ペイオフ（費用）がないため、問題のゲームは完全に指定されていません。

— サンダーHeinsalu

一般に、この命題は真実ではありません。および場合に真であることを示すことができます。ここでは、および場合の反例を示します。 $n=2$ $m=2$ $n=3$ $m=2$

短いコメント。この質問を言葉で言い換えることができます。「よりランダム」なナッシュ均衡（対）は効率が悪いのでしょうか？直観的には、より多くの混合戦略が実行されると、実現される結果はよりランダムになり、エージェント間の調整が不足するため、非常に非効率になる可能性があります。エージェントが純粋な戦略をとるとき、ナッシュ均衡を考慮すれば、調整の問題を減らすと考えることができます。および場合に示すように、命題が偽の場合、この直感は成り立ちません。 $e'$ $e$ $n=3$ $m=2$

意味および 2つの可能なアクション。遅延関数は次のように定義されています：、、および、、。それは時にあることを意味しのエージェントがプレイ（それぞれ）、彼らはペイオフ受信（それぞれを。）。遅延関数が増加している限り、これは（対称）輻輳ゲームです。 $A$ $B$ $d_A(1)=5$ $d_A(2)=7$ $d_A(3)=10$ $d_B(1)=1$ $d_B(2)=6$ $d_B(3)=7$ $x$ $A$ $B$ $-d_A(x)$ $-d_B(x)$

1人のエージェントがをプレイし、2人のエージェントがプレイときの均衡としてを定義します。定義 1つのエージェントは常に果たしているとき均衡として、と2人が演じる確率で及び確率で。プロパティ満たします。 $e$ $A$ $B$ $e'$ $B$ $A$ $\mu=2/3$ $B$ $1-\mu=1/3$ $sup(e) \subseteq sup(e')$

まず、がナッシュ均衡であることを示します。選択方が選択よりも優れている場合、（つまり）の場合、をプレイエージェントは他の2人のプレイヤーの戦略を考慮してペイオフを最大化します。（つまり）の場合、をプレイするエージェントは両方とも最適にプレイしています。したがって、はナッシュ均衡であり、その社会的コストはです。 $e$ $A$ $A$ $B$ $d_A(1)<d_B(3)$ $5<7$ $B$ $d_B(2)<d_A(2)$ $6<7$ $e$ $d_A(1)+2d_B(2)=17=\frac{153}{9}$

次に、がナッシュ均衡であることを示します。一方で、演じるエージェント、彼女がよりよく遊んでオフになっている場合は他の二人は混合戦略を再生するとき、彼女のペイオフを最大化されたより、すなわち、これは事実です。一方、混合戦略を再生剤の各々は、選択の間に無関心であり、又は場合すなわち。 $e'$ $B$ $B$ $A$

（ 1 - μ ）^{2} d_{B} （ 3 ） + 2 μ （ 1 - μ ） d_{B} （ 2 ） + μ^{2} d_{B} （ 1 ） < （ 1 - μ ）^{2} d_{A} （ 1 ） + 2 μ （ 1 - μ ） d_{A} （ 2 ） + μ^{2} d_{A} （ 3 ）

$(1-\mu)^2d_B(3)+2\mu(1-\mu)d_B(2)+\mu^2d_B(1)<(1-\mu)^2d_A(1)+2\mu(1-\mu)d_A(2)+\mu^2d_A(3)$

\frac{1}{9} 5 + \frac{4}{9} 7 + \frac{4}{9} 10 < \frac{1}{9} 7 + \frac{4}{9} 6 + \frac{4}{9} 1

$\frac{1}{9}5+\frac{4}{9}7+\frac{4}{9}10<\frac{1}{9}7+\frac{4}{9}6+\frac{4}{9}1$

A

$A$

B

$B$

μ d_{A} （ 2 ） + （ 1 - μ ） d_{A} （ 1 ） = μ d_{B} （ 2 ） + （ 1 - μ ） d_{B} （ 3 ）

$\mu d_A(2)+(1-\mu)d_A(1)=\mu d_B(2)+(1-\mu)d_B(3)$

\frac{19}{3} = \frac{19}{3}

$\frac{19}{3}=\frac{19}{3}$

e^{'}

$e'$ するとナッシュ均衡であり、その社会的コストはは、と等しい。

（ 1 - μ ）^{2} [3 d_{B} （ 3 ）] + 2 μ （ 1 - μ ） [d_{A} （ 1 ） + 2 d_{B} （ 2 ）] + μ^{2} [2 d_{A} （ 2 ） + d_{B} （ 1 ）]

$(1-\mu)^2 [3d_B(3)]+2\mu(1-\mu)[d_A(1)+2d_B(2)]+\mu^2[2d_A(2)+d_B(1)]$

\frac{1}{9} 21 + \frac{4}{9} 17 + \frac{4}{9} 15 = \frac{149}{9}

$\frac{1}{9}21+\frac{4}{9}17+\frac{4}{9}15=\frac{149}{9}$

最後に、が。混合戦略ナッシュ均衡は、純粋戦略戦略よりも社会的コストが低くなります。 $sup(e) \subseteq sup(e')$ $SC(e) > SC(e')$

— ギウィル
ソース