経済理論における位相概念

質問：1960年代以降の数学のミクロ経済学への主要なまたは体系的な応用は何ですか？

たとえば、19世紀後半、フィッシャーはギブズの数学的アイデアを最初に使用して現代の効用理論を構築しました。20世紀に、マス・コレルは一般的な平衡を研究するためにトポロジカルなアイデアを取り入れました。20世紀後半、21世紀初頭はどうですか？

たとえば、有向グラフ理論、測度理論、トポロジ、カテゴリ理論、現代のホモロジーまたはコホモロジー、トポス法、機能統合などを検討します。

注1：モデリングなしの計量経済学/統計は除外されます。そこで使用される唯一の現代数学は、ランダムウォーク理論と、複雑な解析によって解決されるエルゴード問題です。RWおよびEPは、経済に固有のものではありません。

適切な経済学の出版物が答えです。これには、非厳密経済学ジャーナル、たとえばJournal of Mathematical Psychologyなどに掲載されたものも含まれます。

注2：はい、私は知っています、このタイプの仕事はまれです（不明瞭と混同しないでください：それのいくつかはよく知られています）。それが、公開されたときにそのような参照を見逃しやすくする理由です。したがって、質問。

私は、メジャー理論の応用のための新たな重要な分野は、おおよその動的プログラミング技術にあると強く疑っています。おおよその動的プログラミング（コンピューターサイエンスの文献では「強化学習」とも呼ばれます）は、動的プログラミングの文献の過去10〜20年の研究活動の方向性です。経済学は、これらの進歩のいくつかを採用し始めたばかりです。DP文学の方向性の例については、Bertsekasの最新の動的プログラミングシリーズの第4版拡張版、またはPowellの「近似DP：次元の呪いを解く」を参照してください。。経済学者は、これらのツールのいくつかを直接的および間接的に取り上げ始めたばかりであり、今後数年間で文学に大きな影響を与えると思われます。これらの方法の収束の分析的背景のいくつかは、トポロジーおよび動的システムです。

経済学者からのこのタイプの文献への理論的貢献の良い例は、Páland Stachurski（2013）、Fitted Value Function Iteration With Probability One Contractions（修正なしバージョンはこちら）です。その論文を熟読すると、測定理論をよく理解することの重要性がわかります。Stachurskiの著書 『Economic Dynamics』は、実際にはこの観点からのダイナミックプログラミングの非常に優れた説明であり、複数レベルの大学院生/専門家に有効なペースで構築されています（測定理論は最終的に正式に登場します-私はまだに向かっていますそれらの洞察）。

これがあなたの質問にある程度答えることを願っています。「1960年代以降の数学」というフレーズは（数学文学の歴史に関する知識が不足しているために）多少曖昧であるため、このマークを完全に逃してしまった場合は申し訳ありません。

これはコメントするには長すぎました。「1960年以降」は、ミクロ理論を含む応用分野のarbitrary意的で非常に高い水準のようです。名前を付けたトピックのほとんどは、現代の数学とは見なされません。たとえば、メジャー理論はルベーグの論文から始まり、1世紀以上前のものです。トポロジーはさらに古く、ホモロジーグループを導入したポアンカレで始まりました。両方とも、微積分学のように、今日、学部生に教えられています。（GEでMas-Colellらが使用している数学は、トポロジーではなく分析です。）

20世紀半ばから現代の数学を応用コミュニティに推進する研究プログラムの外部性は、せいぜい間接的です。たとえば、非可換幾何学、Langlandのプログラム、ポアンカレ予想、バウムコンヌ予想、双子の主要予想（これらの問題の進展に対して1960年以降にフィールズメダルが授与された）などによって動機付けられた視点と手法。 ---おそらく数学の外では決して見られないでしょう。もちろん、数理ファイナンスは数学のままですが、それは経済的な観点からはかなり削除されています。

編集それは、あなたの質問に直接対処し、Chichilnisky、et。によって始められた社会的選択理論へのトポロジーの応用があったことが判明しました。等 以下は、トポロジーに関するトピックに関するJET論文です。

http://math.uchicago.edu/~shmuel/TSC.pdf。

トポロジーの専門知識を持っている人は、さらにコメントすることができます。

ローブ空間は、連続したエージェントで状況をモデル化するために使用されています。http://eml.berkeley.edu/~anderson/Book.pdfおよび経済学の応用に関する本のワーキング数学者のための非標準分析の章を参照してください。

メジャー理論は、公正な分割（別名「ケーキカット」）の問題で広く使用されています。経済学雑誌の公平性に関する多くの論文を参照してください。

特定の例については、市石達郎とアダム・イジク、「分割可能な商品の公平な配分」、JME 1999を参照してください。

Michaelが言及したChichilniskyの研究に加えて、社会的選択理論におけるトポロジーの別の興味深い使用法は、経済領域に関するArrowの定理に関するRedekopの研究に現れています。

• Redekop、J。（1991）。制限された経済領域での社会福祉機能。Journal of Economic Theory、53、396–427。
• Redekop、J。（1993a）。一貫性のない経済領域。社会的選択と福祉、10、107-126。
• Redekop、J。（1993b）。経済的選好のいくつかのスペースに関するアンケートのトポロジー。Journal of Mathematical Economics、22、479〜494。
• Redekop、J。（1993c）。パラメトリックドメインでの社会福祉機能。社会的選択と福祉、10、127-148。
• Redekop、J。（1995）。経済環境における矢印定理。WA Barnett、H。Moulin、M。Salles、およびNJ Schofield（編）、社会的選択、福祉、および倫理（pp。163–185）。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。
• Redekop、J。（1996）。混合財、確率的、動的な経済環境における矢印定理。社会的選択と福祉、13、95–112。

Arrowの不可能性定理は、もともと抽象的な代替セットに対して証明されており、この代替セットに対するあらゆる可能な選好プロファイルを可能にします。Redekop（および他の人）が尋ねた質問は、代替物が商品の束であり、エージェントがそれらの商品（単調、凸、連続、利己的、...）よりも「古典的な」選好を持っている場合、アローの定理に相当するものがありましたか？

より正確には、問題は、これらの経済領域に3つのアロヴィアの公理（無関係な独立、弱いパレートおよび独裁制の独立性）を満たす社会福祉機能が存在するかどうかでした（Le Breton、Michel、およびJohn A.Weymarkを参照してください。」第17章経済領域に関するアロビアの社会的選択理論。」社会的選択と福祉のハンドブック2（2011）：191-299（この回答はこれに基づいています）。

おおまかに言って、Redekopの研究は、これらの経済的問題のいくつかについて、選好の領域がアロビアの社会福祉機能を認める場合、その領域は位相的意味で「小さく」なければならないことを示しています。たとえば、Redekop（1991）で、彼はアンケートトポロジと名付けた一連の選好に関する独創的なトポロジを紹介し、公共財経済において、選好の領域がアロビアの社会福祉機能を認める場合、その領域はこのトポロジでは、どこにも密集していない（つまり、ドメインの閉鎖にはオープンセットが含まれていない）。