すべてのコスト関数が入力価格で凹面であり、入力の需要が減少していることを証明する

私は、コスト関数がフォームの凹であるという証拠を見てきました

$C(\lambda w + (1-\lambda)w',q) \ge \lambda c(w,q) + (1-\lambda)c(w',q)$

しかし、これは説得力を感じず、入力要求が下向きに傾斜していることを証明する道でもないようです。

私の質問をより簡潔にするために、それは2つの部分です。

まず、生産関数に関係なく、すべてのコスト関数が凹であることを証明します。

第二に、最初のステップを使用して、入力需要が下方に傾斜していることも示します。

してみましょう、コストの最小化問題に対する解決策を示します。$x(w, q)$

$$\begin{eqnarray*} \min_{x} & \ w\cdot x \\ \text{s.t.} & \ \ f(x) \geq q \end{eqnarray*}$$ ここで、は生産関数です。のででコストを最小化、以下のすべてに当てはまるとすべてのための： $f$$x(w, q)$$(w, q)$$w$$q$ $$\begin{eqnarray*} w\cdot x(w, q) \leq w\cdot x(w', q) \ \ \ \forall w' \end{eqnarray*}$$

また、コスト関数は入力の選択肢を最小化するコストのコストであることもわかっています：

$$\begin{eqnarray*} C(w, q) = w\cdot x(w, q) \end{eqnarray*}$$

まず、がで凹であることを示します。任意の、および任意の考慮してください。 したがって、$C$$w$$w'$$w''$$\lambda \in [0, 1]$

$$\begin{eqnarray*} C(\lambda w' + (1-\lambda) w'', q) & = & (\lambda w' + (1-\lambda) w'')\cdot x(\lambda w' + (1-\lambda) w'', q) \\ & = & \lambda w' \cdot x(\lambda w' + (1-\lambda) w'', q) + (1-\lambda) w''\cdot x(\lambda w' + (1-\lambda) w'', q) \\ & \geq & \lambda w' \cdot x(w', q) + (1-\lambda) w''\cdot x(w'', q) \\ & = & \lambda C(w' , q) + (1-\lambda) C(w'', q) \end{eqnarray*}$$ $C$$w$

入力需要が下向きに傾斜していることを示すために、任意のおよび、 それらを追加すると、得られ ここで、および番目の入力の価格のみが異なります。したがって、 $w'$$w''$

$$\begin{eqnarray*} w'\cdot x(w', q) & \leq & w'\cdot x(w'', q) \\ w''\cdot x(w'', q) & \leq & w''\cdot x(w', q) \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} (w'-w'')\cdot (x(w', q) - x(w'', q)) & \leq & 0 \end{eqnarray*}$$ $w'$$w''$$j$ $$\begin{eqnarray*} (w'-w'')\cdot (x(w', q) - x(w'', q)) = (w_j'-w_j'') (x_j(w', q) - x_j(w'', q)) & \leq & 0 \end{eqnarray*}$$ $j$