効用関数の1次の同種。

質問

私の解決策は次のとおりです。私の解決策を確認してください。間違えたら教えてください。私の解決策は本当にわかりません。ありがとうございました

U（x）は次数1の同種である、つまりu（tx）= tu（x）

まず、間接効用関数がmで1次の同次であることを示します。

効用最大化により、

V（p、m）= max u（x）はpx mに従います$\le$

tv（p、m）= max tu（x）はpx mに従います$\le$

u（tx）= tu（x）なので、tv（p、m）= max u（tx）はpx mの影響を受ける$\le$

次にv（p、tm）= tv（p、m）

つまり、間接効用関数は1次の同次関数です。

以前の結果を使用して、支出関数がuで1次の同次であることを示します。

そんなこと知ってる

v（p、m）= v（p、e（p、u））= u（x）

u（x）は1次の同次であり、v（p、m）はmで1次の同次であるため、v（p、e（p、u））はe（p、u）で1次の同次である必要があります。

つまり、v（p、e（p、u（tx）））= v（p、e（p、tu（x）））= tv（p、e（p、u））はe（p 、tu（x））= te（p、u（x））

つまり、高価な関数e（p、u）は、uの次数が1と同じです。

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ここで、マーシャルの需要x（p、m）がmで1次の同次であることを示します。

ロイのアイデンティティによって、

$$\frac{\partial v(p,m)/\partial p}{\partial v(p,m)/\partial m}=x(p,m)$$

最初の結果では、v（p、m）はmで1次の同次であるため、x（p、m）はmで1次の同次です。

ここで、ヒックスの需要がuで1次の同種であることを示しましょう。

そんなこと知ってる

x（p、m）= x（p、e（p、u））= h（p、u）........（1）

x（p、tm）= tx（p、m）= tx（p、e（p、u））= x（p、te（p、u））

e（p、u）は2番目の部分で1次の同次であるため、

x（p、te（p、u））= x（p、e（p、u（tx））= h（p、u（tx））= h（p、tu（x））= th（p、等式（1）が存在するため、u（x））が成り立つ必要があります。

それは、ヒックスの需要がuで1次の同種であるということです。

がで1次の同次であることを示す方法は正しいが、これががで1次の同次であることを意味する理由は、引数ではあまり正確ではない。たとえば、双対性は ここで、はターゲットユーティリティレベルですが、証明のようにであってはなりません。$v(p,m)$$m$$e(p,u)$$u$

$$v(p,e(p,u))=u,$$ $u$$u(x)$

ここで進行する1つの可能な方法は次のとおりので、中程度一方の均質であるは、のように書くことができる。 等式を 適用すると、 これは、が均一であることを明確に示しています 1次の。同様の引数を使用して、ヒックスの需要の均一性を証明できます。$v(p,m)$$m$

$$v(p,m)=mv(p,1)=m\tilde v(p).$$ $v(p,e(p,u))=u$ $$e(p,u)=\frac{u}{\tilde v(p)},$$ $e(p,u)$$u$

以上のことから、支出関数とヒックスの需要の定義を使用して、元のステートメントを直接証明することをお勧めします。たとえば、

$$\begin{align*} e(p,\lambda u)&= \min p\cdot x ~~\text{ s.t. } u(x)\geq \lambda u\\ &=\lambda\min p\cdot\frac{1}{\lambda}x ~~\text{ s.t. }\frac{1}{\lambda}u(x)\geq u\\ &=\cdots \end{align*}$$