支出関数と他の多くの関数との関係！

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ヒックスの需要、ワルラスの需要（マーシャル）、支出関数、および間接効用関数（値関数V（b）を含む）の関係を理解できません。私はこの主題が非常に困難であり、入手可能な本で使用されている形式のために、それらの相互関係を理解することができませんでした！

間接効用を導き出す方法は理解していますが、支出関数と残りを導き出すためにそれをどのように使用できるか、そしてそれらが二重性においてどのように異なるかを示すのに安心する必要があります！

microeconomics consumer-theory utility

— ありえ
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アムステルの答えの優れたMWG図に続いて、必要な基本的な観察は、固定し、とが互いに逆であるということです。は、特定の量のユーティリティを得るために費やす必要がある量を示し、は、特定の支出から得ることができる最大量のユーティリティを示します。ユーティリティから富に変換したいときはいつでも、を使用します。そして富から効用に変換したいときはいつでもを使用します。 $p$ $e$ $v$ $e$ $u$ $v$ $w$ $e$ $v$

すべての主要なアイデンティティは、この観察から導出できます。例えば、我々はのためのアイデンティティを導出したいと。我々はすでに、支出の機能に対応するIDを知っている。これを恒等式に変換するには、を代入します $\partial v(p,w)/\partial p_i$ $\partial e(p,u)/\partial p_i=h_i(p,u)$ $v$ $w=e(p,u)$ 、を取得し、に関して微分する。連鎖ルールは意味 $v(p,e(p,u))=u$ $p_i$ これは、我々がで割る場合両側には、ロイのアイデンティティとなります。

\frac{\partial v (p, e (p, u))}{\partial p_{i}} + \frac{\partial v (p, e (p, u))}{\partial w} \cdot \frac{\partial e (p, u)}{\partial p_{i}} = 0 ⟺ \frac{\partial v (p, w)}{\partial p_{i}} = - \frac{\partial v (p, w)}{\partial w} \cdot x_{i} (p, w)

$\frac{\partial v(p,e(p,u))}{\partial p_i} + \frac{\partial v(p,e(p,u))}{\partial w}\cdot\frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i} =0\\ \Longleftrightarrow \frac{\partial v(p,w)}{\partial p_i} = -\frac{\partial v(p,w)}{\partial w}\cdot x_i(p,w)$

- \partial v / \partial w

$-\partial v/\partial w$

または、MarshallianとHicksianの需要の導関数間の関係を与えるSlutsky方程式を導きたいと仮定します（Marshallianの需要の変化を代替効果と収入効果に分解します）。上記と同様に、マーシャル需要にを代入して、を取得できます。次に、に関する微分 $w=e(p,u)$ $x(p,w)$ $x(p,e(p,u))=h(p,u)$ 両側および連鎖ルールを適用することは、得られる $p_i$ 一般的に、私はヒューリスティック「との間にスイッチだと思うと使用して、必要に応じておよび、」あなたはここでほとんどすべてを取得することができます。（限界効用がMarshallianおよびHicksian需要システムでおよびと同じ役割を果たしているFrisch需要システムを扱う場合にも、同様のヒューリスティックが役立ちます。）

\frac{\partial x (p, e (p, u))}{\partial p_{i}} + \frac{\partial x (p, e (p, u))}{\partial w} \cdot \frac{\partial e (p, u)}{\partial p_{i}} = \frac{\partial h (p, u)}{\partial p_{i}} ⟺ \frac{\partial x (p, w)}{\partial p_{i}} = \frac{\partial h (p, u)}{\partial p_{i}} - \frac{\partial x (p, w)}{\partial w} \cdot x_{i} (p, w)

$\frac{\partial x(p,e(p,u))}{\partial p_i} + \frac{\partial x(p,e(p,u))}{\partial w}\cdot \frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i} = \frac{\partial h(p,u)}{\partial p_i}\\ \Longleftrightarrow \frac{\partial x(p,w)}{\partial p_i}=\frac{\partial h(p,u)}{\partial p_i} - \frac{\partial x(p,w)}{\partial w}\cdot x_i(p,w)$

w

$w$

u

$u$

v

$v$

e

$e$

λ

$\lambda$

w

$w$

u

$u$

もちろん、ある上で使用つの他の主要な事実、あるのために、となる。代わりに、これは由緒正しいの直接的な結果として最もよく見られます $\partial e(p,u)/\partial p_i = h_i(p,u)$ $w=e(p,u)$ $\partial e(p,u)/\partial p_i = x_i(p,w)$ エンベロープ定理。

$\partial v/\partial p_i$ $p_i$ $\partial v/\partial w$ $\partial v/\partial p_i$ $\partial e/\partial p_i$

— 名目上剛性
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これがどれだけ役立つかはわかりませんが、Mas-Colell p.75の図は、これらの関数を導出するときに常に念頭に置いているものです。使用している本はわかりませんが、Mas-Colell et al。によるミクロ経済学。大学院へ行くリソースです。しかし、私はバリアンによるミクロ経済分析を好みます。読みやすく、大学院レベルの仕事に必要な重要なコンテンツがまだあります。私の経験から、できるだけ多くのワルラス派の要求を導き出し、プロセスを実行するだけで、理解するのが楽になりました。あなたが例を探しているなら、私はそれがどのように機能するかを示すためにいくつかの式を適用できますが、あなたはこれを理解しているようです。別のリソースも必要な場合は、ページと練習問題のページもあります。お役に立てれば：）

ミクロ経済学：マス・コレル

更新：ここに私の問題セットのいくつかからのいくつかの練習問題があります。最後のものに注意してください。楽しい

可能であれば、以下のそれぞれについてヒックス、ワルシア、支出、および間接を計算します。

$e(p,u) = (p_{1} + p_{2})u$
$e(p,u) = p_{1} +p_{2} + up_{1}$
$h(p,u) = ( \frac{up_{2}}{p_{1}} , \frac{up_{1}}{p_{2}})$
$x(p,w) = ( \frac{w}{p_{1}} , \frac{w}{p_{2}} )$

編集; ＃4を説明するための更新

$x(p,w) = ( \frac{w}{p_{1}} , \frac{w}{p_{2}} )$

$(x_{1}, x_{2})$

$p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2} = w$

Walrasian Demandの特性の1つは、Walrasの法則が適用されることです。

$px = w$

ワラスの法則が成り立たないことを示す簡単な方法は、所得制限の要求を単純に差し込むことです。

$p_{1} ( \frac{w}{p_{1}}) + p_{2} ( \frac{w}{p_{2}}) = w$

$2w \neq w$

— アムステル
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