マーシャルの需要関数が与えられた無差別曲線を導き出すことは可能ですか？

2つの良い世界では、マーシャルの需要関数はD(p,m)、pが1つの商品の価格であり、mが所得である場合に、効用関数または無差別曲線関数を生成しますか？もしそうなら、これを解決するにはどうすればよいですか？

microeconomics utility consumer-theory

はい、いくつかの条件下で。これは古典的な統合可能性の問題です。詳細な議論については、Kim Borderによるいくつかの優れたノートを参照してください。

他のいくつかの技術的条件が必要ですが、最も経済的に実質的な条件は、Slutsky行列が常に対称で、負の半定値でなければならないことです。我々が定義した場合、具体的にはでスラツキー行列の要素番目であることが $ij$ $(p,m)$ 、我々が持っている必要がありますのすべてについて、また、任意のベクトルのための我々はすべてを持っている必要があります必要

σ_{i j} (p, m) = \frac{\partial D_{i} (p, m)}{\partial p_{j}} + D_{j} (p, m) \frac{\partial D_{i} (p, m)}{\partial m}

$\sigma_{ij}(p,m)=\frac{\partial D_i(p,m)}{\partial p_j}+D_j(p,m)\frac{\partial D_i(p,m)}{\partial m}$

σ_{i j} (p, m) = σ_{j i} (p, m)

$\sigma_{ij}(p,m)=\sigma_{ji}(p,m)$

(p, m)

$(p,m)$

v

$v$

(p, m)

$(p,m)$

\sum_{i} \sum_{j} σ_{i j} (p, m) v_{i} v_{j} \leq 0

$\sum_i \sum_j \sigma_{ij}(p,m)v_iv_j \leq 0$ これらの条件の1つは、基本的な消費者理論のすぐ後に続きます。これは、マーシャルの需要が効用関数の制約付き最大化から導出される場合、Slutsky行列は対称的で負の半定値であることを示します。しかし、ユーティリティ関数をバックアウトするためにこれらの条件が（他のいくつかの技術的前提と組み合わせて）十分であることはより複雑な問題であり、詳細を取得するには、ボーダーのメモまたは他の高度なマイクロソースをお勧めします。

$i=1,2$

\frac{\partial e (p, u)}{\partial p_{i}} = h_{i} (p, u) = D_{i} (p, e (p, u))

$\frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i} = h_i(p,u) = D_i(p,e(p,u))$

D

$D$

e

$e$

(\bar{p}, \bar{m})

$(\bar{p},\bar{m})$

\bar{u}

$\bar{u}$

e (\bar{p}, \bar{u}) = \bar{m}

$e(\bar{p},\bar{u})=\bar{m}$

p_{1}

$p_1$

i = 1

$i=1$

e (p_{1}, {\bar{p}}_{2}, \bar{u})

$e(p_1,\bar{p}_2,\bar{u})$

p_{1}

$p_1$

h (p_{1}, {\bar{p}}_{2}, \bar{u}) = D (p_{1}, {\bar{p}}_{2}, e (p_{1}, {\bar{p}}_{2}, \bar{u}))

$h(p_1,\bar{p}_2,\bar{u})=D(p_1,\bar{p}_2,e(p_1,\bar{p}_2,\bar{u}))$

p_{1}

$p_1$

$\bar{u}$ $p_1$ $p_1$

— 名目上堅い
ソース