期待項を含むオイラー方程式の対数線形化

対数線形化に役立つオンラインリソースがいくつかあります（例：here またはhere）。ただし、ログは期待値演算子を単純に「通過」できないため、期待値が関係するログの線形化は少し注意が必要です。この例では、誰かが代数を手伝ってくれる？

私はオイラー方程式（方程式1）を持っています ここで、です。リスクフリーレートの表現とエクイティプレミアムの表現を導き出そうとしています。これを行うにはどうすればよいですか？

$$1 = E_t \left [ \left \{ \delta \left (\frac{C_{t+1}}{C_t} \right )^{-1/\psi} \right \}^\theta \left \{ \frac{1}{1 + R_{m,t+1}} \right \}^{1 - \theta} 1 + R_{i, t+1} \right ]$$ $\theta = ( 1 -\gamma)/(1 - 1/\psi)$

上記の2番目のリンクから、目的の変数をように置き換えることから始める必要があるようです。その後、与えられた手順に従って、私は到達する必要があるようです（式2）$C_t = c e^{\tilde C_t}$

$$\begin{align} 1 = E_t \left [ \left \{ \delta \left (\frac{\tilde C_{t+1} + 1}{\tilde C_t + 1} \right )^{-1/\psi} \right \}^\theta {} \left \{ \frac{1}{(1 + R_m)[\widetilde{(1 + R_{m,t+1})} + 1]} \right \}^{1 - \theta} \cdot \\ \cdot [(1 + R_i)[\widetilde{(1 + R_{i, t+1})} + 1]] \right ]. \end{align}$$

しかし、私はここからどこへ行くのですか？

編集：

1. 私が持っているノートから方程式1を直接コピーしました。おそらく、右側の項が括弧内にあるはずです（1 + R_ {i、t + 1}）。対数線形化の私の最初の試みでは、私はそれをこのように扱いました。（1 + R i 、t + 1$1 + R_{i,t+1}$$(1 + R_{i,t+1})$

2. 式2では、最初の2番目のリンクにある命令の手順を実行しています。したがって、時間添字のないおよびは、定常状態でのこれらの値です。R $R_i$$R_m$

3. R i$R_m$は市場ポートフォリオの収益であり、は資産収益です。$R_i$$i$

編集2：

役立つコメントをありがとう。したがって、これまでに収集したものから、次のようなものを取得する必要があります。

$$\begin{align} 1 &= E_t \left [ \delta^\theta (1 - \frac \theta \psi (\tilde C_{t+1} - \tilde C_t ) (1 + R_m)^{\theta - 1} (\theta - 1) \left ( 1 + \tilde R_{m,t} \frac{R_m}{1 + R_m} \right ) \right .\\ & \left . \, \cdot (1 + R_i) \left ( (1 + \tilde R_{i,t} \frac{ R_i}{1 + R_i} \right ) \right ] \end{align}$$

次に、これはリスクフリー率が次のように見つかることを意味します：

$$\begin{align} 1 &= E_t \left [ \delta^\theta (1 - \frac \theta \psi (\tilde C_{t+1} - \tilde C_t ) (1 + R_m)^{\theta - 1} (\theta - 1) \left ( 1 + \tilde R_{m,t} \frac{R_m}{1 + R_m} \right ) (1 + R_f) \right ] \\ 1 &= E_t[ m_{t+1} (1 + R_f)] \\ \frac{1}{E_t[m_{t+1}]} &= 1 + R_f. \end{align}$$

これは正しいです？そして今、質問を終えるために、私はどのように株式プレミアムを見つけるのですか？

とりあえず、期待値の存在は無視しましょう。これが確定的な設定である場合、ログの取得による線形化は簡単で、OPが提供するリンクのトリックがなければ、最初の方程式の両側で自然対数を取ると、次のようになります。

$$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}\ln \left (\frac{C_{t+1}}{C_t} \right )-(1-\theta) \ln(1 + R_{m,t+1}) + \ln (1 + R_{i, t+1}) \tag{1}$$

セットする

$$\hat c_{t+1} = \frac{C_{t+1}-C_t}{C_t} \Rightarrow \frac{C_{t+1}}{C_t} = 1+\hat c_{t+1} \tag{2}$$

また、書き込みにそれが標準近似であることに注意してください少なくともについて| a | < 0.1。通常、これは成長率と財務率に当てはまるため、$\ln (1+a) \approx a$$|a|<0.1$

$$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}\hat c_{t+1} -(1-\theta) R_{m,t+1} + R_{i, t+1} \tag{3}$$

これは、存在する3つの変数をリンクする明確な動的関係です。モデルでは、定常状態が一定消費及び定数戻ることを特徴としている場合、それを我々が有するであろうC T + 1 = 0をので、定常状態の関係になります$\hat c_{t+1} =0$

$$R_{i} = - \theta \ln \delta + (1-\theta) R_{m} \tag{4}$$

しかし、期待値を無視してこれらすべてを行いました。表現はであり、f （C t、C t + 1、R m 、t + 1だけではありません 、R i 、t + 1$E_t\left[f\left(C_t, C_{t+1},R_{m,t+1},R_{i,t+1} \right)\right]$$f\left(C_t, C_{t+1},R_{m,t+1},R_{i,t+1} \right)$。 1次テイラー展開を入力します。拡大の中心が必要です。4つの変数を単にz t + 1で表します（t -indexの変数がz t + 1に存在することは問題ありません）。E t（z t + 1）の周りの関数を拡張することを選択します。そう$f()$$\mathbf z_{t+1}$$t$$\mathbf z_{t+1}$$E_t(\mathbf z_{t+1})$

$$f\left(\mathbf z_{t+1}\right) \approx f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right) + \nabla f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right)\cdot \big(\mathbf z_{t+1}-E_t[\mathbf z_{t+1}]\big) \tag{5}$$

その後

$$E_t\left[f\left(\mathbf z_{t+1}\right)\right] \approx f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right) \tag{6}$$

明らかにこれは近似値です。つまり、たとえジェンセンの不等式のためであっても、エラーがあります。しかし、それは標準的な習慣です。次に、確定的バージョンで行ったこれまでのすべての作業を、変数の代わりに条件付き期待値を挿入する確率的バージョンに適用できることがわかります。したがって、式 書かれている$(3)$

$$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}E_t[\hat c_{t+1}] -(1-\theta) E_t[R_{m,t+1}] + E_t[R_{i, t+1}] \tag{7}$$

しかし、定常状態の値はどこにありますか？まあ、確率論的な文脈での定常状態の値は少しトリッキーです-私たちは私たちの変数（現在はランダム変数として扱われています）が定数になると主張していますか？または、確率論的文脈で定常状態を定義する別の方法はありますか？

複数の方法があります。それらの1つは、「完全な先見の明の定常状態」であり、完全に必ずしも一定ではない値を予測します（これは、「期待どおりの均衡」の概念です）。これは、たとえば、コメントで言及されたJordi Galiの本で使用されています。「完全予見定常状態」は、E t（x t + 1）= x t + 1によって定義され

$$E_t(x_{t+1}) = x_{t+1} \tag{8}$$

この概念の下で、式。はeq。（3 ）これは現在、経済の「完全な先見確率的定常状態」方程式です。$(7)$$(3)$

変数が定常状態で一定になるというより強い条件が必要な場合は、再び、それらの予測は最終的には完全になると主張することも合理的です。その場合、確率論的経済の定常状態は決定論的経済の定常状態と同じです。。$(4)$

$f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - E[x])$$f(x) \approx E[f(x)] + f'(E[x]) (x - E[x])$$f(x) - \overline{f(x)}$$x - \bar x$

$$\frac{\text{Cov}(f(x), x)}{\text{Var(x)}} \approx E[f'(x)].$$ $x$

編集：

$f(x) - \overline{f(x)}$$x - \bar x$$f(x) - \overline{f(x)} = \beta (x - \bar x) + \epsilon$$E[\epsilon] = E[\epsilon x] = 0$$\beta = \frac{\text{Cov}(f(x), x)}{\text{Var(x)}}$$\beta$

$$f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - \bar x) + \epsilon,$$ $$E[\epsilon] = 0.$$ $$E[f(E[x]) + f'(E[X]) (x - E[x])] = f(E[x]) \neq E[f(x)].$$

あなたの問題は、再帰的な（Epstein-Zin）設定による資産価格の方程式のようです。資産価格に関心がある場合、通常の「マクロ経済的」線形化に注意する必要があります。このような近似は確実に等価です。つまり、線形化された解の係数は衝撃のサイズに依存しません。さらに、線形化されたソリューションのすべての変数は、それらの確定的な定常状態の周りで変動します。その結果、リスクプレミアムはゼロであり、これは要点に反するものです。

1つの解決策は、高次の摂動法を使用することです（一定のリスクプレミアムを得るには2次、時変するプレミアムには3次）。とにかくモデルを数値的に解決したい場合は、既存のソフトウェア（Dynareなど）を使用すると簡単です（この場合、手動で線形化する必要もありません）。代わりに分析（近似）ソリューションが望ましい場合、通常の方法は数量のダイナミクス（消費の増加など）を線形化し、オイラー方程式から直接資産価格を取得し、Bansal＆Yaron（2004）のように対数正規性の仮定を使用して期待値を計算します。

たとえば、小文字の変数がログの場合、通常のオイラー方程式は次のように書き直すことができます

$$1 = E_t [\exp(m_{t+1} + r_{t+1})]$$

$m_{t+1},r_{t+1}$

$$0 = E_t[m_{t+1}] + E_t[r_{t+1}] + \frac{1}{2} \left\{ Var_t[m_{t+1}] + Var_t[r_{t+1}] + 2 Cov_t[m_{t+1},r_{t+1}] \right\} \tag{1}$$

$\exp(-r^f_t) = E_t[\exp(m_{t+1})]$、または

$$r^f_t = -E_t[m_{t+1}] - \frac{1}{2} Var_t[m_{t+1}]$$

したがって、

$$E_t[r_{t+1}] - r^f_t + \frac{1}{2}Var_t[r_{t+1}] = Cov_t[m_{t+1},r_{t+1}]$$

実際に資産価格を計算するには、次に

• いくつかの状態変数とショックの線形関数としてlog-SDFを表現します（たとえば、CRRAの場合のログ消費の増加）

• 対数配当価格比（Campbell-Shiller近似）でリターンを線形化し、それを（1）に代入します。

• 対数D / P比を状態変数の線形として表現し、次に未決定の係数の方法を使用して、（1）を満足する解を取得します。

実際には少し複雑です（特にEZプリファレンスの場合、最初にSDFに入る市場リターンを導き出すためにアプローチを使用する必要があり、次に他のリターンを取得する必要がある場合）、詳細はリンクされたBansal＆Yaronにあります。論文。