準線形ユーティリティ関数

$u_0 = f(x_1) + x_2$$f'>0$$f''<0$

私は、無差別曲線が垂直に平行であることを知っています。つまり、勾配はの消費とは無関係です。収入に影響はないと思いますが、どうすればこれを示すことができますか？$x_2$

乾杯

目的関数および予算制限して、最適化問題に関してこれを示すことができ。ラグランジュを使用すると、 この特別な場合、（マーシャル需要関数）の最適量は収入依存しないことがわかります したがって収入効果はゼロであり、収入変化しても、異なる量の消費することはありません。$U_0 = f(x_1) + x_2$$M - p_1 x_1 - p_2 x_2 = 0$

$$f'(x_1) = \frac{p_1}{p_2} \quad \text{or} \quad f'^{-1}(\frac{p_1}{p_2}) = x_1^{*} = D_1(p)$$ $x_1^{*}$$M$ $$\frac{\partial D_1}{\partial M} = 0,$$ $x_1^{*}$$M$

さらなる考慮事項： MarshallianおよびHicksianデマンド関数に基づいて、この特定のユーティリティ関数のいくつかの興味深いプロパティを表示できますスルツキー分解： これは、ことを示しています価格に関するマーシャルの需要関数の導関数は、価格に関するヒックスの需要関数の導関数から、収入に関するマーシャルの需要関数の導関数を引いた最適な倍に等しい。この特殊なケースでは、マーシャルの需要関数はヒックスの需要関数と等しくなります。$D_i(p, M) = x_i^{*}$$H_i(p, u) = x_i^{*}$

$$\frac{\partial D_i}{\partial p_i} = \frac{\partial H_i}{\partial p_i} - x_i^{*} \frac{\partial D_i}{\partial M}$$ $x_i^{*}$$\frac{\partial D_i}{\partial M} = 0$。