グラフで三角形を見つける：プロパティテスト以外のアプローチ？

分散設定で三角形とネットワークモチーフ（一定サイズのサブグラフ、グラフレットとも呼ばれます）を見つけるためのアルゴリズムを紹介する論文に取り組んでいます。グラフ内の三角形の数と必要な通信負荷のトレードオフを特徴付けます。私は、集中型モデルでこの質問に対して行われた作業の参照を探しています。

問題は、私がこのトピックで見つけたほぼすべての理論的なフレーバーがプロパティテストのフレームワーク内にあったことです。違いを説明するために、個の頂点を持つグラフの場合を考えてみましょう。これは、すべてエッジ共有する三角形で構成されています。プロパティテストの観点から見ると、このグラフは三角形のないものに非常に近く（その重要なエッジを削除することで）、三角形の数は直線的になっています。これは、私たちの基準では多くのことです。 $n$ $n-2$ $\left(1,2\right)$

どんな参考文献でも評価されます。

編集：私は主に、グラフに三角形が含まれているかどうかをすばやく判断できるアルゴリズムに興味があります。三角形（または他のサブグラフ）リストアルゴリズムの場合、アルゴリズムはそれらをすべてリストする必要があるため、このようなインスタンスをある意味難しくするため、実行時間はグラフ内の三角形の数によって下から自然に制限されます。決定問題（「三角形なし」か「なし」）の観点から見ると、三角形が多数あると問題を簡単に見つけることができます。

reference-request graph-theory graph-algorithms

— シャー
ソース

デビッドの反応を考えると、あなたが何を望んでいるのかもう理解できていません。プロパティテストフレームワークは好きではありませんが、クエリの複雑さの境界が必要ですか？三角形の数も推定したいので、あなたが質問で与えた例は悪いケースですか？

— Suresh Venkat 2012年

ここに私が欲しいものがあります-グラフをクエリし、三角形の多いグラフと三角形のないグラフを区別できる確率的アルゴリズムです。たとえば、Gonen、Ron、Shavitによるdl.acm.org/citation.cfm?id=1873611を参照してください。ただし、彼らの論文ではクエリが制限されています（たとえば、私が正しく理解している場合、均一な分布からサンプリングされない限り、エッジクエリは許可されません）。

— Shir

三角形の数を推定するサブリニアアルゴリズムが必要ですか？

— Suresh Venkat

いくつかの簡単な観察：T個の三角形があり、ランダム化が許可されているとします。次に、サンプリングできます：（1）エッジ。T三角形のグラフで使用できるエッジの最小数は〜T ^であるため、少なくとも〜T ^ {2/3} / mの確率で三角形にヒットします。 {2/3}; エッジを取得したら、nステップで三角形の中にあるかどうかを確認できるため、予想される実行時間のアルゴリズム〜mn / T ^ {2/3}を取得できます。（2）頂点のランダムなトリプルを選択でき、確率T / n ^ 3で三角形になるため、〜n ^ 3 / Tのランタイムが得られます。もう少し高度なこともできます。これは役に立ちますか？

— virgi 2012年

ああ、また、特定のグラフに〜n ^ {3-eps}時間で三角形が含まれているかどうかを検出できるアルゴリズムはすべて、nxnブール行列を〜n ^ {3-eps / 3}時間で乗算できるアルゴリズムに変換できます。、このため、シンプルな三角形の検出アルゴリズムも興味深いのですが、もちろん、ハードインスタンスは、0または1の三角形のケースを区別する必要がある場合であり、この場合、計算以外に何もわかりません。隣接行列の立方体。

— virgi 2012年

回答:

三角形の存在をテストする問題（正確には、プロパティテストフレームワークではない）に関するいくつかのリファレンスについては、WikipediaのTriangle-free graphを参照してください。特に、Alon、Yuster、およびZwick（ESA'94）はO（m ^ {1.41}）アルゴリズムを提供します。また、密なグラフに適した高速の行列乗算時間でも実行できます。

動的グラフアルゴリズムの設定に問題がなければ、三角形を数えるためのアルゴリズムもあります。

グラフのhインデックスと動的サブグラフ統計へのその適用、D。Eppstein およびES Spiro、arXiv：0904.3741およびWADS 2009。

私たちの論文では、mエッジのグラフが最大でO（m ^ {3/2}）の三角形を含む最悪の場合、それらはその時間内にリストされる可能性があります。

— デビッド・エップスタイン
ソース

早速のお返事ありがとうございます。私が今何を求めているのか正確にはわからなかったことがわかりました。私はウィキペディアで参照を自然に見ましたが、クエリの複雑さ、または確率的アルゴリズムの実行時間の領域で何かを探しているので、それらは完全には適合しません。それを反映するように質問を編集します。答えに投票してください。しかし、私はまだ答えを探しているので、それを受け入れません。:)

— Shir

David Eppsteinの回答へのコメントで、クエリの複雑さの領域について尋ねます。私はそれは些細な（決定論的、またはランダム化された）クエリの複雑下で結合しているので、何を記述することは、それに書かれた何の書類を持っていないと思います（ここで、、頂点の数であるので、は入力サイズであり、したがってクエリの最大の複雑さです）。 $\Omega(n^2)$ $n$ $O(n^2)$

その理由を知りたい場合は、次のグラフファミリーを検討してください。

グラフを次のように定義します。特別な頂点、サイズつのパーティションとあります。との各頂点の間、およびと各頂点の間にエッジがあります。 $G_{0}$ $v$ $X$ $Y$ $(n - 1)/2$ $X$ $v$ $Y$ $v$

用およびグラフ定義としてエッジと添加。 $i \in X$ $j \in Y$ $G_{ij}$ $G_0$ $ij$

$G_0$ には三角形がなく、各は1つの三角形があります。グラフが一部のについてまたはであるという約束が与えられている場合、は明らかにオブジェクト（エッジ）の順序付けられていない検索と同等です。 $G_{ij}$ $G_0$ $G_{ij}$ $i$ $j$ $(n - 1)^2/4$

— アルテム・カズナチェエフ
ソース

WRTクエリの複雑さ、「三角形問題の量子アルゴリズム」、Magniez、Santha、およびSzegedy、SODA'05、およびarXiv：quant-ph / 0310134も参照してください。

— David Eppstein

あなたの例は、単一の三角形の場合（私はそれがO（1）に簡単に一般化されると思います）についてのみ示しています、それは三角形の数と1つをヒットする確率の間のトレードオフ、または良いサンプリング戦略。

— Shir、2012年

Θ (n^{2})

$\Theta(n^2)$

Ω (n)

$\Omega(n)$

Ω (\sqrt{N})

$\Omega(\sqrt{N})$

部分関数による下限とはどういう意味かわかりません。また、すべての手順で例を解決する必要がある理由もわかりません。少なくともアルゴリズムの存在を、この例でどのように反証していますか？

n

$n$

1 - 1 / \sqrt{n}

$1-1/\sqrt{n}$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

私はあなたの最終的な目的に関してあなたの質問を正確に理解していません。ただし、三角形のパッキング問題のFPTバージョンが問題の何らかの形で役立つ場合は、それを検討することができます。特に、Edge Disjoint Triangle Packing（EDTP）またはVertex Disjoint Triangle Packing（VDTP）を検討し、グラフのインスタンスを頂点の数でそれぞれO（k）またはO（k ^ 2）にカーネル化できます。三角形の数をカーネル化することもできます[O（k ^ 3）]。カーネル化後、グラフインスタンスの三角形を分析する方が簡単になります。

— ニキル
ソース