3値ロジックの機能完全性

最近のいくつかの作業のコンテキストでは、Kleeneの3値ロジックに基づいて言語を定義していますはtrue、はfalse、はエラーまたは知らないという意味です。私たちの言語が表現力豊かであることを示すために、一連の演算子を機能的に完全に構築できることを証明したかったのです。 $1$ $0$ $\bot$

文献で既存の結果を見つけるのは非常に困難でした。1962年にJobeによって書かれた論文が1つ見つかりました。

Jobe 1962 Theorem Paper（制限付きアクセス）。

セットで表現され、以下に示す演算子およびによって定義される値のロジックは、機能的に完全です。 $E$ $\{1, 2, 3\}$ $\bullet, E_1$ $E_2$

$\begin{array}{cccccc} ∙ & 3 & 2 & 1 & E_{1} & E_{2} \\ 3 & 3 & 2 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 3 \end{array}$ $\begin{array}{c|ccc|c|c} ~\bullet~ & ~3~ & ~2~ & ~1~ & ~E_1~ & ~E_2~ \\ \hline 3 & 3 & 2 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 3 \end{array}$

私たちの論文では、この結果を使用して、オペレーターとJobeによって定義されたオペレーターとの間の対応関係を示しています（大まかに言えば、強い結合、否定、およびfalseで知らない変換演算子を使用しています）。

私の主な懸念は、Jobeの機能が完全であることの証明を実際に理解できていないことです。この日付以降、他の結果（肯定的または否定的）を見つけることができませんでした。

だから私の質問は次のとおりです。3値論理の機能の完全性について、もっと知られている結果はありますか？この方向の情報は参考になります。

reference-request lo.logic

— チャールズ
ソース

3

$3$

3

$3$

@EmilJeřábekおかげで、私はTernary Post Logicについて読んだだけで、それは対応しているようです（ただし、このトピックについてはあまりわかりません）。3要素のフィールドについて何か参考にしていただけませんか？Googleは少しあいまいです。

— チャールズ

1 + 1 + \dots + 1

$1+1+\cdots+1$

{+, \cdot, 1}

$\{+,\cdot,1\}$

本の第5章と第6章[有限集合の関数代数、Dietlinde Lau、2006年]には、多値論理（証明を含む）における関数完全性の詳細な取り扱いが含まれています。要約すると：Rosenbergs [1965、1970]最大クローン（プリコンプリートクローンとも呼ばれる）の特徴付けは、任意のkのk値論理における機能的完全性の基準を与えます。

3値ロジックの特殊なケースでは、このような特性（18の最大/プリコンプリートクラスで構成される）は、1954年にJablonskijによってすでに提供されています。それらが18のプリコンプリートクラスのいずれにも該当しないことを確認するには十分です。

— グスタフ・ノルド
ソース