負の結果を使用して計算可能性理論で正の結果を証明する

暗号化の多くの結果は、複雑性理論の不可能性の結果/推測に依存しています。たとえば、RSAを使用した公開キー暗号化は、因数分解（およびモジュラールート検索の問題）の実行不可能性に関する推測のために可能であると考えられています。

私の質問は：

計算可能性理論でも同様の結果が得られますか？否定的な不可能性の結果を使用した興味深い肯定的な構造はありますか？

たとえば、停止問題の決定不能性により、停止問題が決定可能である場合には実行できないタスクを実行できるようになりますか？

cc.complexity-theory cr.crypto-security computability

— カヴェ
ソース

複雑性理論における否定性の結果の2つの主な用途は、（1）暗号化と（2）ランダム化解除です。これらはどちらも計算可能性フレームワークには適用されません。計算可能な暗号システムの解読は必然的に計算可能なタスクであり、ランダムチューリングマシンで計算可能な関数は、決定論的チューリングマシンでも（建設的な方法で）計算できます。

— デビッドハリス

これは言い回しの問題のようです。「RSAを使用した公開鍵暗号化は可能」は、「ポリタイムでRSAを解読することは不可能である」というガラスの半分完全な方法です。RSAがどのようにポジティブコンストラクションであるかはわかりません...それは単なるコンストラクションであり、そのセキュリティの証明は、起こり得る敵のアルゴリズムについてのネガティブな結果です。

— Artem Kaznatcheev

@Artem、ここでのポイントは、使用できるプロトコルを構築していることであり、プロトコルが有用であるという条件は、それを破ることができる敵がいないという否定的な結果です。直感的に言えば、否定的な結果とは、何かを行うことができないという定理です。肯定的な結果とは、あるタスク（安全な通信など）を実行できる構造を意味します。肯定的な結果は、その中に否定的な結果をもたらす可能性があります。これをより正式に表現することを考えます。

— カヴェ

@David、はい、私はこれら2つを知っています。複雑性理論/暗号の肯定的な結果に対する否定的な結果の他の既知の使用法を知っていますか？

— Kaveh

私も個人的には言い回しの問題だと思います。たとえば、ライスの定理を使用して、「アンチウイルスごとに、認識されないウイルスを構築することができます」と言うことができます。すべての不完全性定理では、それを「反例を構築できる」に変換できます。

— Ludovic Patey

回答:

ある意味では、これがパラメトリック性の理論のすべてです。

データの抽象化とは、モジュールのクライアントがモジュールの要素にアクセスできないようにする方法です。これは、モジュールのクライアントがデータ構造の内部不変を壊さないようにするために依存します。たとえば、公開されたインターフェイスを介してのみ平衡ツリーにアクセスすると、ツリーは常に平衡になります。

したがって、負のプロパティを使用します-可能なクライアントが抽象化の境界を破ることはできません-正のプロパティを推論するために-データ表現不変式は常に保持されます。

— ニール・クリシュナスワミ
ソース

データは適切なオラクルを介してアクセスされますが、データに直接アクセスすることが計算不可能であることを必ずしも意味しません

— David Harris

データの抽象化は本質的に定義可能な結果です。つまり、プログラミング言語のプログラムは抽象化の境界を超えることができないということです。言語外のメカニズムを使用する場合（たとえば、デバッガーを起動する場合）、もちろん、ハッシュテーブルが持つプライベートフィールドを確認できます。

— Neel Krishnaswami 2012年

コルモゴロフの複雑さはこのカテゴリに分類される可能性があります。

チューリングマシンでは圧縮できない特定の文字列があることを示すことができます。これらの文字列は「一般的に」動作するため、（非ランダム）非圧縮文字列に関する動作を調べることにより、特定の情報や計算タスクのランダムプロパティを調べることができます。

— デビッドハリス
ソース

ありがとう、オフラインのディスカッションで他の誰かがこれを提案しました。（私たちは実際に実際のタスクを実行するために計算的にランダムな文字列を使用しないので、私は完全に確信していません、何かを構築するよりも実存的な味がします、私はおそらく肯定的な結果によって正確に何を意味するかについてもう少し考えるべきです。ps：私の元々の動機は、計算能力理論を学んでいる学部生に、現実世界のタスクを実行するために物事を構築する際の否定的な結果の有用性の例を与えることでした。）

— Kaveh

実際には非圧縮性の文字列を作成することはできません（できません）が、ランダムに文字列を作成することは非常に一般的です。そうすると、高い確率で非圧縮になります。

— David Harris