FPTのパラメーター化された最大独立項は問題ですか？

パラメータ化された最大独立句の問題：
入力：n個の変数とm個の句を含むr-CNFSAT式F 、k 個のクエリ
：相互に独立するように少なくともk個の句が存在します。
パラメータ：k
この問題がFPTにあるかどうか知りたい。どちらの場合でも、先に進むという考えが評価されます。

k-CNFのkは節の数kとは異なり、後者はパラメーターであると仮定します。以下では、k-CNFをk'-CNFに置き換えます。

この問題はすべてのk 'のFPTにあります。「ロジック」が問題の定義で使用されていないことに注意してください。n個の要素のmセットのコレクションがあり、各セットのカーディナリティは最大でk 'であると想定できます。（リテラルの符号を削除しても問題は変わりません。）

ここで、サイズmのコレクションからサイズkのセットパッキングを求めています。すべてのセットのカーディナリティは最大でk 'です。これは、各セットのサイズが一定の場合のFPTです。この問題には多くの言及がありますが、キーフレーズは「セットパッキング」です。

この問題は、として知られているR-セットパッキング：
インスタンス：収集せいぜいサイズのサブセットのR有限集合のSと整数K。 パラメータ：k個の 質問：ありサブコレクションのC " ⊆ C少なくともで構成さkの互いに素なサブセット？$\mathcal{C}$$r$$S$$k$
$k$
$\mathcal{C'} \subseteq \mathcal{C}$$k$

無制限の場合、問題は独立セットからの簡単な削減によるW [1]困難です（たとえば[1]を参照）。 ただし、定数rの場合、問題は扱いやすい固定パラメーターになります（たとえば、[2]を参照）。$r$
$r$

[1]：ロドニーG.ダウニー、マイケルR.フェロー：パラメータ化された複雑さ。Springer、1999。
[2]：Michael R. Fellows、Christian Knauer、Naomi Nishimura、Prabhakar Ragde、Frances A. Rosamond、Ulike Stege、Dimitrios M. Thilikos、Sue Whitesides：マッチングとパッキング問題のためのより高速な固定パラメーターの扱いやすいアルゴリズム。Algorithmica 52（2）：167-176（2008）

さまざまな状況でFPT / W硬度を明確にする必要がある明示的な双方向の削減を試みましょう（他の回答で優れたリファレンスを検索することを強くお勧めします。あなたの質問、そして私はかなり簡単に何かを逃したかもしれません）。

私は次の問題を扱います。宇宙のサブセットのファミリーが与えられ、問題は少なくとものサイズの相互にばらばらのセットのサブファミリーがあるかどうかです。$k$

だから、これは独立したセットからの縮約です：宇宙をすべてのペアのセット、i < jとします。すべての頂点について、サブファミリーを紹介します。$(i,j)$$i < j$

$\{(u,v) ~|~ (u,v) \in E(G)\}$

$u$$v$

ここで、独立したセットへの縮小があります。すべてのセットに頂点を導入し、共通の要素を共有している場合は、2つのセット間にエッジを追加します。この場合も、ファミリー内の互いに素なセットのセットは、このグラフの独立したセットに正確に対応しています。

$W[1]$$\Delta = O(1)$$N[v]$$|N[v]|$

そのため、問題は一般的にWハードであり、特定のファミリのセットのサイズが制限されている特殊なケースではFPTです。