Mulmuley-Sohoni GCTアプローチを使用して*既知*の複雑さの分離を示すのはどれくらい難しいですか？

Josh Grochowによる複雑なウェブログでのこのゲスト投稿で、彼は7月にプリンストンで開催されたGCTに捧げられた最近のワークショップについて報告しています。参加者の何人かは、直感を構築し、方法に可能性があるかどうかを確認するために、対N Pよりも簡単な問題を攻撃するためにGCTを使用する必要があると主張しました。$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$

私を悩ませている質問：

GCTを使用して、P ≠ E X PまたはL ≠ P S P A C Eのような既知の間隔を表示することは可能ですか？$\mathsf{P} \neq \mathsf{EXP}$$\mathsf{L} \neq \mathsf{PSPACE}$

L ≠ P S P A C Eのようなことをする$\mathsf{L} \neq \mathsf{PSPACE}$

1. GCTのコンテキストでは意味がありません。または
2. GCTフレームワークではまったく些細で面白くない、または
3. 対N Pと同じくらい難しい推測を導き ますか？$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$

簡単な答え：おそらくない（1）、間違いなく（2）、そしておそらく（3）。

これは私が今しばらく断続的に考えているものです。まず、ある意味で、GCTは意思決定の問題ではなく、コンピューティング機能の下限を設定することを本当に目的としています。しかし、あなたの質問は、、P、P S P A C E、およびE X Pの関数クラスバージョンにとって完全に理にかなっています。$L$$P$$PSPACE$$EXP$

第二に、実際にブールバージョンような私たちが知っていて愛しているバージョン-を証明することは、GCTアプローチではおそらく信じられないほど難しいです。モジュラー表現理論（有限上の表現理論フィールド）、どのコンテキストでもよく理解されていません。 $FP \neq FEXP$

しかし、合理的な目標はGCTを使用して、代数的類似物を証明することです。$FP \neq FEXP$

あなたの質問にたどり着くために：これらの質問はGCTのコンテキストで定式化できると信じていますが、どのようにすぐに明らかではありません。多かれ少なかれ、クラスに対して完全であり、その対称性によって特徴付けられる関数が必要です。関数に関連付けられた表現理論が理解しやすい場合は特別ボーナスですが、後者は通常非常に困難です。

質問はGCTコンテキストで処方され、一度も、私はそれはGCTは（の代数的類似体）を証明するために使用するものになるかどうかは難しい見当がつかないこれらの状況で発生しますなどの表現論的推測をPで発生するものと非常によく似たフレーバーを持つ可能性が高い$FP \neq FEXP$$P$対$NP$または恒久的vs決定要因。これらの分離結果の古典的な証明が、GCT証明に必要な表現理論的な「障害」を見つける方法のアイデアを提供することを期待するかもしれません。ただし、あなたが言及するステートメントの証明はすべて、対角化に基づく階層定理であり、対角化が実際に、言う。一方で、GCTのコンテキストでF E X Pを定式化する方法はまだ見ていませんので、言うのは少し早いです。$FEXP$$FEXP$

最後に、そのブログ投稿で述べたように、Peter BurgisserとChristian Ikenmeyerは、行列乗算の境界ランクの下限を再検証しようとしました（2006年にJoseph Landsbergによって7であることが証明されました）。彼らは、GCT障害のコンピューター検索により、ボーダーランクが少なくとも6であることを示すことができました。2013年4月更新：彼らはそれ以来、GCT障害を使用してランズバーグの結果を再証明し、漸近的な3$2 \times 2$$\frac{3}{2}n^2 - 2$このような障害物を使用した行列乗算の下限。GCTはこれまでのところ、行列乗算の既知の下限を再現していませんが、代替案（最悪の場合は二重指数時間であるGrobner基底を含む）よりも効率的なコンピューター検索を可能にします。ワークショップでの彼らの講演で、ピーターとクリスチャンは、小さな例の計算から得たいと本当に望んでいるのは、既知の下限を再証明することではなく、これらを使用できるようにするいくつかの洞察であることを指摘しました（正しく、私は言います）新しい下限を証明する技術。

$2 \times 2$$3 \times 3$$3 \times 3$$FP \neq FEXP$、対角化はそうではありません。$P \neq NP$

Joshua GrochowによるarXivに関する新しい論文があります。これは、いくつかの既知の下限技術をGCTフレームワークに組み込む方法を示しており、あなたの質問にある程度答えているようです。

（これは主に単なるコメントですが、誰もコメントに気付かないため、回答として投稿しています。）

幾何学的複雑性理論による既知の下限の統一と一般化

ジョシュア・A・グロショー

$AC^0[p]$これにより、既知の結果が自然に統合され、広く一般化されます。また、GCTのフレームワークは少なくとも既知の方法と同じくらい強力であり、GCTが実際に重要な漸近的下限を提供できるという多くの新しい概念実証を提供します。この新しい視点は、以前の結果とGCTの新しい方法の間の実りある双方向の相互作用の可能性も開きます。そのような相互作用の具体的な提案をいくつか提供します。たとえば、GCTの表現理論的観点は、新しい下限の検索で考慮する新しいプロパティを自然に提供します。この新しい視点は、以前の結果とGCTの新しい方法の間の実りある双方向の相互作用の可能性も開きます。そのような相互作用の具体的な提案をいくつか提供します。たとえば、GCTの表現理論的観点は、新しい下限の検索で考慮する新しいプロパティを自然に提供します。この新しい視点は、以前の結果とGCTの新しい方法の間の実りある双方向の相互作用の可能性も開きます。そのような相互作用の具体的な提案をいくつか提供します。たとえば、GCTの表現理論的観点は、新しい下限の検索で考慮する新しいプロパティを自然に提供します。