レフリーとのコミュニケーションの複雑さ

2人のプレーヤーA（lice）とB（ob）とR（eferee）がいる複雑な通信のフレームワークを想定します。AとBは直接通信しません。通信の各ラウンドで、それぞれがメッセージ（、）をRに送信します。Rは2つの関数およびを計算し、結果を送信します彼らへ。機能は固定されています。プレイヤー間のコミュニケーションが制限されているという考えです。さらに、レフェリーはメッセージに対して何らかの処理を行う場合があります。 $m_A$ $m_B$ $f_A(m_A,m_B)$ $f_B(m_A,m_B)$

例：

AとBは2つの（任意の大きな）数値をRに送信し、Rはどちらが大きいかをチェックしてプレーヤーに通知します。

このフレームワークでは、単一のラウンドを使用して次の関数を簡単に計算する単純なプロトコルを設計できます。AとBはとをRに送信し、Rはそれらに回答を返し、回答を出力します。 $x$ $y$

f (x, y) = {\begin{cases} 0 & x \leq y \\ 1 & o w \end{cases}

$f(x,y)= \begin{cases}0 & x\leq y\\ 1 & ow \end{cases}$

私たちが計算している関数はレフリーの関数と同じなので、明らかにこれは興味深いケースではありません。我々は、固定された線形不等式有する場合より興味深い場合がある変数の値がプレーヤーの間で分配される（Aが有するとBが持つ）。タスクは、不平等が正しいかどうかを決定することです。この場合のプロトコルは、プレーヤーが自分の部分を計算してからレフリーに送信するというものです。 $\vec{a} \cdot \vec{x} \leq \vec{b} \cdot \vec{y}$ $\vec{x}$ $\vec{y}$

質問：

この種のコミュニケーションの複雑さは調査されましたか？はいの場合、どこでこれについてもっと知ることができますか？

注1：49ページで、KushilevitzとNisanはレフェリーを含むフレームワークについて言及していますが、私が求めているものとは非常に異なっているようです。

注2：Rをレフリーと呼ぶことが正しいかどうかはわかりません。より良い提案がある場合はコメントしてください。

cc.complexity-theory reference-request communication-complexity

— カヴェ
ソース

あなたが言及しているモデルは、「同時メッセージパッシング」と呼ばれます

— Marcos Villagra

このペーパー（arxiv.org/abs/quant-ph/0102001）とそのリファレンスを確認してください。特に、Ambainis、およびNewmanとSzegedyによる論文を確認してください。

— Marcos Villagra、2011

ここラウルJahinすることにより、より最近の論文であるieeexplore.ieee.org/xpl/...は

— マルコスVillagra

@MarcosVillagra：SMPはKavehの注1と同じですよね？

— アレッサンドロコセンティーノ

@Marcos、ありがとう、私はそれらをチェックしますが、要約に基づいて、SMPは私が説明しているものとは異なるようです。（プレイヤーがRを使用して通信を行うことを明確にするために、より良い例を考え出します。ps：これらのコメントを回答として投稿した方がいいと思います。

— Kaveh

回答:

次の論文はご存知だと思いますが、他の読者が興味を持っている可能性があるため、リンクを貼っています。ゲームによる補間

A (x, y) \lor B (x, z) .

$A(x,y)\lor B(x,z).$

$A$ $a$ $y^a$ $B$ $b$ $z^b$

コミュニケーションはレフェリーによって仲介され、証明の不平等を評価するのに役立ちます。
通信量が少ない（ツリーが浅い）。
$A$ $B$
$i$ $a_i \not= b_i$

レフェリーは、不平等の確率論的プロトコルに変換されます。このようにして、通信複雑度フレームワークのツリー状の確率プロトコルの下限をツリー状の切断面証明の下限に変えることができます。

PLSの形式の通信プロトコルの下限がある場合、DAGのような切断面の証明の下限が得られます。

この手法は、切断面の実際の推論規則に依存しないことに注意してください。推論規則を（1）正の組み合わせ（2）床との整数除算であると仮定すると、PavelPudlák 引数を使用して単調補間回路を構築できます。

— MassimoLauria
ソース

実際、私はこれよりも一般的なものが通信の複雑さで研究されているかどうかを調べようとしていたので、証明の複雑さの下限と答えを偏らせない実現可能な補間については触れませんでしたが、感謝します。:)

— カヴェ

はい、そう思いました。しかし、このフォーラムの他の読者は興味があり、複雑さの証明に興味を持つかもしれません。

— MassimoLauria

$m_A$ $m_A$ $m_B$ $f(m_A,m_B)$ $f_A$ $f_B$

第二に、線形不等式に関連するプロトコルは、切断面の証明のコンテキストでは確かに興味深いものです。この場合、メッセージの形式が非常に制限されているプロトコルを考慮するだけで十分です。入力変数のいくつかの線形結合の値のみを通信できます。

$0$ $1$ $0$ $1$

$f(\alpha,\beta)=1$ $\alpha \leq \beta$ $m_A(\vec{x})=\vec{c}\cdot \vec{x}$ $m_B(\vec{y})=\vec{d}\cdot \vec{y}$

$t$ $\exp(t/\log n)$

$G=(V,E)$ $u$ $x_u$ $\sum_{v\in V}x_v>\alpha(G)$ $x_u+x_v\leq 1$ $uv$ $G$ $0$ $1$ $G$

$=(L\cup R,E)$ $A\subseteq L$ $B\subseteq R$ $|A\cup B|>\alpha(G)$ $A$ $B$ $\alpha(G)$ $L$ $R$ $n\times n$ $\omega(\log^2 n)$

@カベ：質問であなたの質問に「答える」ために申し訳ありません。

— Stasys
ソース

私は、証明の複雑さにおいて、既知のアプリケーションよりも一般的なccフレームワークに関心があります。レフェリーが使用する関数は既知です（これらは私が言ったように修正されています）。このモデルに興味を持つ理由はいくつかありますが、主なポイントは、コミュニケーション量をどのように測定するかです。通信されるビットの総数に関心がある場合、あなたが言ったようにプロトコルをシミュレートすることが可能です。しかし、ラウンド数のような他の複雑さの尺度を検討したい場合、それは異なると思います。たとえば、

— Kaveh

証明の複雑さ各プレーヤーはレフリーに実数を送ります。実数は無限に多くのビットをエンコードできるので、これをシミュレートしたい場合は、無限のビット数を送信する必要があります。それを許可している場合は、入力全体を送信するだけでよいので、興味がなくなります。しかし、フレームワーク内のレフェリーとのラウンド数を数えると、便利な別の指標が得られます（Pavel Pudlakの証明など）。

— Kaveh

O (\log n)

$O(\log n)$

n

$n$

私が質問で説明した種類の通信の複雑さについて詳しく知りたいと述べ、証明の複雑さと補間にリンクすることを意図的に避けたので、これらは副次的な問題です。私の質問の発言には、証明の複雑さに関連するものは何もありません。

— Kaveh

k > 2

$k>2$