SERF-還元性および準指数アルゴリズム


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Impagliazzo、Paturi、Zane、および準指数アルゴリズムのSERF還元性に関して質問があります。SERF-reducibilityの定義は次を提供します:

場合 SERF還元性であるP 2とがO 2 ε NアルゴリズムP 2それぞれについて、ε > 0、そこであるO 2 ε NのアルゴリズムP 1それぞれについて、ε > 0。(両方の問題の硬度パラメータはnで示されます。)P1P2O(2εn)P2ε>0O(2εn)P1ε>0n

いくつかの情報源は、以下も当てはまることを暗示しているようです:

場合 SERF還元性であるP 2とがO 2 O N のためのアルゴリズムA 2は、存在するO 2 O N のアルゴリズムP 1P1P2O(2o(n))A2O(2o(n))P1

私の質問は、後者の主張は実際に成り立っているのか、もしそうなら、どこかに証拠の記述があるのか​​?

背景として、指数時間仮説の周りの領域を理解しようとしています。IPZを有するものとして準指数問題を定義ごとにアルゴリズムをε > 0、これは明らかに問題の準指数アルゴリズムが存在することを意味する現在の知識に照らして十分ではありません。同じギャップがSERFの還元可能性にも存在するようですが、ここで何かが欠けていると部分的に期待しています...O(2εn)ε>0

回答:


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EDIT: ASはコメントでライアンによって指摘、問題が時間実行している不均一なアルゴリズムを有していてもよい任意の定数をε > 0(アルゴリズムがアクセス有するεを)が、統一2 O N 時間アルゴリズム。O(2ϵn)ϵ>0ϵ2o(n)

SERF減少が削減チューリングのファミリーごとに1つであるように、私は、彼らが唯一得るために使用することができると結論O 2 ε nは時間のアルゴリズムO 2 ε N又は2 O N 時間アルゴリズム。ϵ>0O(2ϵn)O(2ϵn)2o(n)


以下の定理は、チェンらによって証明されています。[2009]

定理2.4。してみましょう非減少と無制限の関数である、としましょうQはパラメータ化問題です。その後、次のステートメントは等価である: (1)Qは、時間で解くことができるO 2 δのF K 、P N の任意の定数のためδ > 0pは多項式です。 (2)Qは時間2 o f k qで解くことができるf(k)Q
QO(2δf(k)p(n))δ>0p
Q、ここで qは多項式です。2o(f(k))q(n)q

服用我々は問題が有する得るO 2 ε N毎の時間アルゴリズムε > 0の場合は、それがある場合にのみ2 O N 時間アルゴリズム。f(k)=nO(2ϵn)ϵ>02o(n)

Chenによる論文で言及されています。この等価性は以前は直感的に使用されていたが、研究者の間で多少の混乱を引き起こしていたこと。


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注:証拠が機能するために想定する必要がある他の条件がいくつかあります。1つは、が効率的に計算可能でなければなりません。第二に、単一の均一なアルゴリズムが存在しなければならないA達成2 δのF KをfAそれぞれについて、δを(考えるδに別の入力として、A)。これらの条件がなければ、問題は(1)を満たすことができますが、(2)を満たすことはできません。2δf(k)δδA
ライアンウィリアムズ

正しい。定理2.4を文脈から除外すると、これら2つの条件は失われました。論文では、脚注1は上の条件を与え及び第二の条件は、備考2に与えられているf
サージGaspers

これは、これに関する私のすべての質問にほぼ答えています!どうもありがとうございました。興味深い発言として、SERF削減は部分指数アルゴリズムの存在を保存しないように思われますが、実際にはIPZのスパース化補題は、k-SATにアルゴリズムを与えるほど十分に強いと思われますある2 O M アルゴリズムが。2o(n)2o(m)
ジャンヌH.コルホネン

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ε>0O(2εn)2o(n)ε

また、FlumとGroheは本の答えで定理の証明を与えているようです。補題16.1を参照してください。
ヤンネH. Korhonen
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