オラクルが入力の一部である場合の複雑性理論

複雑性理論でオラクルが発生する最も一般的な方法は次のとおりです。たとえば、特定の限られたリソースを持つチューリングマシンで固定オラクルを使用できるようにし、オラクルがマシンの計算能力をどのように向上させるかを研究します。

ただし、オラクルが時々発生する別の方法があります。入力の一部として。たとえば、特定の高次元ポリトープの体積を計算するアルゴリズムを勉強したいとします。古典的に、ポリトープは、そのファセットのリストまたはその他の明示的な表現を提供することにより指定する必要があります。ただし、ボリュームoracleで指定されたポリトープのボリュームを計算する問題を引き起こすこともできます。、それは入力として空間内の点の座標を取り、与えられた点がポリトープの内側にある場合にのみ「yes」を出力します。次に、この方法で指定されたポリトープの体積を計算するために必要な計算リソースを尋ねることができます。この特定のケースでは、Dyer、Frieze、およびKannanの非常に優れた多項式時間近似スキームと、興味深いことに複雑性理論の観点から、ランダム性がこの問題に不可欠な方法で役立つという証拠があります。 Dyer-Frieze-Kannanアルゴリズムと同様に実行します。

オラクルが入力の一部として提供される問題の複雑性理論を研究する体系的な方法はありますか？オラクルの複雑さクラスの通常の理論に何らかの形で還元されますか？私の推測はノーであり、入力の一部としてオラクルを提供できる方法が多すぎるため、この種の問題はすべてアドホックな方法で処理する必要があります。しかし、私はこの点で間違っていると証明されてうれしいです。

タイプ2複雑性理論と呼ばれます。クック、インパリアッツォ、および山上による論文があり、それを一般的な神託の理論とうまく結びつけています。

これは完全な答えにはほど遠いに違いありませんが、見たい場所を示していることを願っています。

入力の一部がオラクルとして与えられる問題は、暗黙的な入力の問題と呼ばれることもあります。これは、たとえば確率的に確認可能な証明を研究する場合に便利なモデルです。

暗黙的な入力の問題に関する重要な研究分野は、クエリの複雑性の理論です。この場合、複雑さは、入力オラクルへのクエリの数だけで測定され、クエリ間の計算量は無視されます。多くの複雑度クラスには、クエリの複雑度に対応するものがあり、クエリの複雑度の複雑度クラス間の分離は、多くの場合、計算の複雑度の対応するクラス間のオラクル分離を意味します。

計算コストを考慮に入れた暗黙的な入力（個々の問題ではなく）を伴う問題の複雑さのクラスの研究は知りませんが、おそらく一部の人は知っています。

入力がオラクルとして提供されるモデルは、計算可能性理論と計算可能分析で研究されています。望みのものに近いと思われるモデルの1つは、TTEモデル（Type Two Effectivity）です。それに関する良い参考資料は、クラウス・ウェイラウチの本「Computable Analysis」です。また、第7章で複雑さについて簡単に説明しています。

Ker-I Koの本「Computational Complexity of Real Functions」では、複雑さにより適していると思われるオラクルへのアクセスの別のモデルについて説明しています。上位型オブジェクトの表現とオラクルにアクセスする方法に関する問題は、デリケートな問題です。たとえば、STOC 2010のStephen A. Cookと川村章利の最近の論文「分析における演算子の複雑性理論」と博士論文を参照してください。主な問題の1つは、モデルを合理的にするために、オラクルからの回答を処理するのに十分な時間をマシンに与える必要があることです（そうでなければ、アプリケーション演算子を計算することさえできません）。多項式時間および多項式空間の場合、Stephen A. CookおよびBruce M. Kapron 'に基づいた高次多項式を使用して実行できます。タイプ2の実行可能性の新しい特性評価「FOCS 1991」および「有限タイプの基本的な実行可能関数の特性評価」STOC 1989。