リソースが制約された最短パス（RCSP）のNPハードなグラフのクラスはどれですか。

私が取り組んでいる問題を、既知のNPハード問題にリンクしようとしています。リソースに制約のある最短経路問題として問題をモデル化できると思います。ただし、グラフの構造は完全に恣意的ではありません。したがって、RCSPが困難になる時期を知ることは有用です。DAG、平面DAG、または次数に制限のあるDAGは難しいですか？どんな助けでも大歓迎です！

この（古い）質問にまだ興味があるかどうか、コメントで指定したリソースの制約をよく理解しているかどうかはわかりません。ただし、問題（通常のRCSP問題とは少し異なります）は、最大次数3の平面（無向または有向または有向非巡回）グラフのNP完全であるようです。

簡単な削減は3-SATからです。式所与とnは変数X 1、。。。X Nとm個の節C 1、。。。C m：$\varphi$$n$$x_1,...x_n$$m$$C_1,...C_m$

• リソース制約セット追加との2つの頂点それぞれの正リテラルのためのx Kでφ及びリソース制約セットM - Kとの2つの頂点それぞれ負のリテラルˉ X Kにおけるφを。$M_k^+$$x_k$$\varphi$$M_k^-$$\bar{x}_k$$\varphi$
• ソースノードからグラフの構築を開始と各変数のxはiが二つにパスを分割線：上側のトラバース全ての一つの頂点M - K負に対応するリテラルそのˉ X K。下の方は 、正のリテラルx kに対応するすべてのM + kの 1つの頂点をトラバースします。$s$$x_i$$M_k^-$$\bar{x}_k$$M_k^+$$x_k$
• 次いで、毎平行にトラバース3つの頂点のリテラルに対応する3行のパスを分割CのJとその対応するから採取されたM +のK又はM - K。$C_j$$C_j$$M_k^+$$M_k^-$
• 最後に、シンクノード追加します。$t$

からtへのパスは、元の式が満足できる場合にのみ存在します（つまり、一般性を失うことなく、長さ≤ | V |のパスを要求できます）。$s$$t$$\leq |V|$

非公式に変数セクションをトラバースするときに、上の行（真の割り当て）を選択した場合、後でトラバースするために使用できる頂点も含むすべてのM − kリソース制約セットの頂点の1つを「使用」する必要があります。 （満たす）を含む句ˉ X I。下の線を選択する場合（false割り当て）、すべてのM + kリソース制約セットの頂点の1つを「使用」する必要があります。この頂点は、x iを含む節をトラバース（満たす）するために後で使用できる頂点も含みます。$x_i$$M_k^-$$\bar{x}_i$$M_k^+$$x_i$。各節をトラバースするとき、3つの頂点の少なくとも1つは、まだ「使用」されていない含まれている必要があります（つまり、少なくとも1つは節を満たすために使用できます）。$M_k$

次の図は、削減をより明確にするはずです。リソース制約セットは、異なる色で表されます（すべての色に対して正確に2つの頂点があります）。$M_k$

C 2 = X 2 ∨ ˉ X 3 ∨ X 4 C 3 = ˉ X 1 ∨ X 3 ∨ ˉ X$C_1 = x_1 \lor \bar{x}_2 \lor x_3$
$C_2 = x_2 \lor \bar{x}_3 \lor x_4$
$C_3 = \bar{x}_1 \lor x_3 \lor \bar{x}_2$

また、グラフを有向、非循環、2部グラフにすることも簡単にできます。詳細が必要な場合（または問題を完全に誤解している場合はお知らせください:-)。

Saaedが指摘したように、問題はに関して固定パラメーターで扱いやすい（制約付きノードのすべての可能なサブセットを考慮し、組み合わせごとに最短経路アルゴリズムを実行する）。$k$