ラムダ計算における

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私はそれを理解していないよと思いますが、として私に-conversionのルックス何もしない-conversion、特殊なケース、何もするがないので結果はラムダ抽象内だけの用語である-conversion無意味な変換の一種。 $\eta$ $\beta$ $\beta$ $\beta$

変換は本当に深くてこれとは違うかもしれませんが、もしそうなら、私はそれを理解できません。あなたがそれを手伝ってくれることを願っています。 $\eta$

（ありがとう、申し訳ありませんが、これはラムダ計算の基本の一部です）

lo.logic lambda-calculus extensionality

— トリルクス
ソース

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更新[2011-09-20]：拡張と拡張性に関する段落を拡張しました。良い参考文献を指摘してくれたAnton Salikhmetovに感謝します。 $\eta$

-conversion特殊なケースである -変換のみときに特殊な場合には抽象自体である場合、例えば、次いで $\eta$ $(\lambda x . f x) = f$ $\beta$ $f$ $f = \lambda y . y y$ しかし、が変数である場合、または抽象化されないアプリケーションの場合はどうでしょうか？

(λ x . f x) = (λ x . (λ y . y y) x) =_{β} (λ x . x x) =_{α} f .

$(\lambda x . f x) = (\lambda x . (\lambda y . y y) x) =_\beta (\lambda x . x x) =_\alpha f.$

f

$f$

ある意味では、 -ruleは特別な種類の拡張性に似ていますが、それがどのように記述されているかに少し注意する必要があります。拡張性は次のように表現できます。 $\eta$

すべての -termsおよびについて、場合、、または $\lambda$ $M$ $N$ $M x = N x$ $M = N$
すべてのためのであれば次いで。 $f, g$ $\forall x . f x = g x$ $f = g$

最初のものは -calculusの用語に関するメタステートメントです。その中で、は形式変数として表示されます。つまり、 -calculusの一部です。 -rules から証明できます。たとえば、Barendregt（1985）の「Lambda Calculus：its Syntax and Semantics」の定理2.1.29を参照してください。これは、すべての定義可能な関数、つまり -termsの表示である関数に関するステートメントとして理解できます。 $\lambda$ $x$ $\lambda$ $\beta\eta$ $\lambda$

2番目のステートメントは、数学者が通常数学ステートメントをどのように理解するかです。 -calculus の理論は、ある種の構造を説明しています。それらを「 -models」と呼びましょう。A -modelは非可算であるかもしれないので、それのすべての要素がAに対応することを保証するものではありません（より多くの実数は実数を記述する式があるよりも、そこにあるだけのように）-termが。拡張性は次のように言います：モデルでと 2つを取り、モデル内のすべてのに対してである場合、です。モデルが次の条件を満たす場合でも $\lambda$ $\lambda$ $\lambda$ $\lambda$ $f$ $g$ $\lambda$ $f x = g x$ $x$ $f = g$ $\eta$ -rule、この意味で拡張性を満たす必要はありません。（ここで参照が必要です。平等がどのように解釈されるかに注意する必要があると思います。）

我々は動機が可能ないくつかの方法がありますおよび- -conversionsは。 -calculusに変装したカテゴリー理論的なものをランダムに選択し、他の誰かが他の理由を説明できます。 $\beta$ $\eta$ $\lambda$

型付きの -calculus について考えてみましょう（混乱は少なくなりますが、型なしの -calculusでもほぼ同じ理由で動作します）。保持すべき基本的な法則の1つは、指数法則（私は表記法と交換可能に使用しており、どちらがよく見えるかを選択します。）同型行うおよびは -calculus で記述されているように見えますか？おそらく、それらはおよび $\lambda$ $\lambda$

C^{A \times B} ≅ (C^{B})^{A} .

$C^{A \times B} \cong (C^B)^A.$

A \to B

$A \to B$

B^{A}

$B^A$

i : C^{A \times B} \to (C^{B})^{A}

$i : C^{A \times B} \to (C^B)^A$

j : (C^{B})^{A} \to C^{A \times B}

$j : (C^B)^A \to C^{A \times B}$

λ

$\lambda$

i = λ f : C^{A \times B} . λ a : A . λ b : B . f ⟨ a, b ⟩

$i = \lambda f : C^{A \times B} . \lambda a : A . \lambda b : B . f \langle a, b \rangle$

j = λ g : (C^{B})^{A} . λ p : A \times B . g (π_{1} p) (π_{2} p) .

$j = \lambda g : (C^B)^A . \lambda p : A \times B . g (\pi_1 p) (\pi_2 p).$ いくつかの -reductions（ -reductionsおよびを含む）を使用した簡単な計算は、私たちは持っている以来、及び互いに逆であり、我々は期待し

β

$\beta$

β

$\beta$

π_{1} ⟨ a, b ⟩ = a

$\pi_1 \langle a, b \rangle = a$

π_{2} ⟨ a, b ⟩ = b

$\pi_2 \langle a, b \rangle = b$

g : (C^{B})^{A}

$g : (C^B)^A$

i (j g) = λ a : A . λ b : B . g a b .

$i (j g) = \lambda a : A . \lambda b : B . g a b.$

i

$i$

j

$j$

i (j g) = g

$i (j g) = g$

η

$\eta$

i (j g) = (λ a : A . λ b : B . g a b) =_{η} (λ a : A . g a) =_{η} g .

$i(j g) = (\lambda a : A . \lambda b : B . g a b) =_\eta (\lambda a : A . g a) =_\eta g.$

η

$\eta$

η

$\eta$

j (i f) = f

$j (i f) = f$

— アンドレイ・バウアー
ソース

β

$\beta$

β η

$\beta\eta$

β η

$\beta\eta$

η

$\eta$

β

$\beta$

η

$\eta$

1

=

$=$

=_{β}

$=_{\beta}$

M x = N x

$Mx=Nx$

M = N

$M=N$

M = N

$M=N$

M =_{β η} N

$M=_{\beta\eta}N$

η

$\eta$

M

$M$

N

$N$

1

@AndrejBauerηルールは完全な拡張性ではないことに同意しますが、それはまだ拡張性の制限された形式であるとは思いませんか。つまり、拡張性の明らかなケースのクラスを表します。元の質問は動機と概念を探しているものであり、この場合、拡張性の観点から考えることは有用であると信じています（もちろん、行き過ぎないように注意してください）。

— マークハーマン

9

この質問に答えるために、対応するモノグラフ「ラムダ計算」から次の引用を提供できます。その構文とセマンティクス」（Barendregt、1981）：

$\beta\eta$ $\lambda$ $\lambda + \text{ext}$ $\text{ext}$ $M x = N x \Rightarrow M = N$

$M =_{\beta\eta} N \Leftrightarrow \lambda\eta \vdash M = N \Leftrightarrow \lambda + \text{ext} \vdash M = N$

[その証明は次の定理に基づいています。]

$\lambda + \text{ext}$ $\lambda\eta$ $(\text{ext}) \Rightarrow (\eta)$

$\lambda\eta$

$M$ $N$ $\lambda\eta \vdash M = N$ $\lambda\eta + M = N$

HP-complete [Hilbert–Post後]理論は、1次論理のモデルの理論における最大一貫理論に対応します。

7

$\lambda$ $\beta$ $\eta$

$\lambda x y.x$ $\lambda x y.y$ $\beta\eta$ $\beta\eta$
$\iota$
1. $u\ =_\iota\ v \Rightarrow t\ u\ =_\iota\ t\ v$
2. $\beta\eta$ $t$ $u$ $t=_\iota u$ $t\neq_{\beta\eta}u$

$t$ $u$ $t=_{\beta\eta\iota}u$

これはベームの定理の結果です。

— コーディ
ソース

6

$\eta$

$=_{\beta \eta}$ $\rightarrow_{\beta\eta}$ $M=N$ $\lambda x.M = \lambda x.N$ $=_{\beta}$

$=_{\beta}$ $=_{\beta\eta}$ $\lambda x. Mx = M$ $Mx=Nx$ $M=N$

— マルシン・コトウスキ
ソース

η

$\eta$

Barendregtによるモノグラフの定理2.1.29を参照してください（Lambda Calculus and its Semantics、1985）。

2

ξ

$\xi$

そして、幸福と「聞いたことがある」ような答えが、対応する参考文献との直接の関連する引用よりも注目を集めていることは、それほど幸せではありません。

ξ

$\xi$

ξ

$\xi$

α

$\alpha$

β

$\beta$