最小の不満足な3-CNF式

現在、満足できず、最小サイズの3-CNF式を取得（または構築）し、研究することに興味があります。つまり、少なくとも1つの句を削除すると式が満たされるように、可能な限り少ない句（m = 8が望ましい）とできるだけ少ない個別変数（n = 4以上）で構成される必要があります。

より正式には、資格のある3-CNF式Fは、次の条件を満たす必要があります。

Fは不満足です
Fには最小量（4+）の個別変数（またはその否定）があります
Fには最小限の条項があります（8+）
Fのすべての適切なサブセットは充足可能です（任意の句を削除できます）。
Fには、2-CNF節に還元可能な2つの節(i, j, k) & (i, j, ~k)がありません。たとえば、許可されていません（になります(i,j)）

たとえば、n = 4の場合、満たされない多くの最小8節3-CNF数式が存在します。1つは、4ハイパーキューブを見て、エッジ（2面）でカバーしようとすることで、次の満たされない式を作成できます。

1. (~A,  B,  D)
2. (~B,  C,  D)
3. ( A, ~C   D)
4. ( A, ~B, ~D)
5. ( B, ~C, ~D)
6. (~A,  C, ~D)
7. ( A,  B,  C)
8. (~A, ~B, ~C)

これは、次の理由により、最小の不満足な3-CNF式として適格です。

それは不満です：
- 条項1〜3は次のものと同等です。 D or A=B=C
- 節4〜6は以下と同等です。 ~D or A=B=C
- それらはを意味A=B=Cしますが、条項7および8により、これは矛盾しています。
4つの異なる変数のみがあります。
句は8つのみです。
句を削除すると、満足できるようになります。
2節は、2-CNF節に「還元可能」ではありません。

だから、ここでの私の全体的な質問は、私にとって重要な順になっていると思います：

上記の条件を満たす他の小さな最小式は何ですか？（つまり、4,5,6変数と8,9,10句など）
そのような最小式のデータベースまたは「アトラス」のようなものはありますか？
それらを完全に構築するために、存在する場合、どの非ランダムアルゴリズムが存在しますか？
これらのフォーミュラの特性に関する洞察は何ですか？n（＃変数）およびm（＃句）が与えられた場合、それらをカウントまたは推定できますか？

返信ありがとうございます。回答やコメントを歓迎します。

cc.complexity-theory sat

— MAF
ソース

各3-CNF句は、可能な解決策の1/8を許可しません。したがって、少なくとも8つの節、または許可されていないソリューションのセットが重複する場合はそれ以上の節が常に必要です。条件5は、n = 3の許可されない解の重複しないセットを禁止しているため、この場合は8つ以上の句が必要です。条件5に従わないことに注意してください。

— AndrásSalamon

はい、あなたはすべてのポイントで正しいアンドラスです。不満足な3-CNFフォーミュラには8節が最低限必要です。そのため、条件5は、適格なフォーミュラを見つけて構築するという私の目的には少し制限が強すぎるかもしれません。n = 3の場合、条件5に必ず違反する必要があることを理解していますが、これは説明のみを目的として含まれています。私は、サイズn = 4 +（つまり、4つ以上の変数ですが、あまり多くはありません）の式の修飾に厳密に興味があります。おそらく、条件5をスクラッチします。

— MAF

（Andrásがコメントで指摘したように）それが実際にこの質問であなたが尋ねているものの例ではないので、n = 3のあなたの「例」は実例ではなく混乱していると思います。n = 4の例は完全に細かく、説明に役立ちます。n = 3の例を削除しないのはなぜですか？

— 伊藤剛

良い点、剛。できた

— MAF

{x}

$\{x\}$

{x^{'}}

$\{x'\}$

C

$C$

C \cup {v}

$C \cup \{v\}$

C \cup {v^{'}}

$C \cup \{v'\}$

v

$v$

回答:

$\lnot A \lor \lnot B \lor \lnot C$ $2$

$\lnot A \lor \lnot B \lor \lnot E$
$\lnot B \lor \lnot C \lor E$

$n=5$ $m=9$

$l_1 \lor l_2 \lor l_3$ $2$

$l_1 \lor l_2 \lor v$
$l_2 \lor l_3 \lor \lnot v$

$v$ $n$ $m$ $1$ $r=\frac{m}{n}$ $1$ $n$ $r=1$

— ジョルジオ・カメラニ
ソース

返事をありがとう、ウォルター。説明する手順は、「類似」構造のさらに小さな最小不飽和式を生成するのに非常に役立ちます。つまり、コアセットに興味のあるプロパティが見つかった場合です。

— -MAF

@MAF：どういたしまして。このような興味深い質問を投稿していただきありがとうございます。

— ジョルジオカメラニ

条件番号5は、あなたの例では実際には保持されておらず、これまで保持することはできません。
次の句を同等にします。

( p, q) = (~A,B,D)(A,~B,~D)

次の真理値表として、A、B、C、およびDの句を新しい変数p、q、r、およびsにマッピングできます。

A B C D | p q r s
-----------------
0 0 0 0 | 0 1 0 0
0 0 0 1 | 0 1 0 1
0 0 1 0 | 0 1 1 0
0 0 1 1 | 0 1 1 1
-----------------
0 1 0 0 | 1 0 0 0
0 1 0 1 | 0 0 0 0
0 1 1 0 | 1 0 0 1
0 1 1 1 | 0 0 0 1
-----------------
1 0 0 0 | 0 0 1 0
1 0 0 1 | 1 0 1 0
1 0 1 0 | 0 0 1 1
1 0 1 1 | 1 0 1 1
-----------------
1 1 0 0 | 1 1 0 0
1 1 0 1 | 1 1 0 1
1 1 1 0 | 1 1 1 0
1 1 1 1 | 1 1 1 1
-----------------

そして、A、B、C、およびDの句をp、q、r、およびsの観点から表現できます。

1. (~A,  B,  D) = ( p, q,~r, s)( p, q,~r,~s)
2. (~B,  C,  D) = (~p, q, r, s)(~p,~q, r, s)
3. ( A, ~C   D) = ( p,~q,~r, s)(~p, q, r,~s)
4. ( A, ~B, ~D) = ( p, q, r, s)( p, q, r,~s)
5. ( B, ~C, ~D) = ( p,~q,~r,~s)(~p, q,~r,~s)
6. (~A,  C, ~D) = (~p, q,~r, s)(~p,~q, r,~s)
7. ( A,  B,  C) = ( p,~q, r, s)( p,~q, r,~s)
8. (~A, ~B, ~C) = (~p,~q,~r, s)(~p,~q,~r,~s)

すべての句が表示され、A、B、C、およびD句に関連付けられているため。次に、p、q、r、およびs句を次のように縮小できると主張できます。

( p, q, r)
( p, q,~r)
( p,~q, r)
( p,~q,~r)
(~p, q, r)
(~p, q,~r)
(~p,~q, r)
(~p,~q,~r)

これは明らかに条件番号5に違反しています。

指摘したいのは、例でも2-CNFに削減できる2つの句があることを明示的に示していないが、暗黙的にhas（eg（〜A、B、 D）および（A、〜B、〜D））、指定された変数で2-CNFを表現できない場合がありますが、問題に異なるマッピングを導入すると、それらを表現できるようになります。

— カザム・アルハムダン
ソース