帰結

場合、PH全体が崩壊することがわかります。多項式階層が部分的に崩壊するとどうなりますか？（または、PHが特定のポイントの上ではなく、下ではなく崩壊する可能性があることを理解する方法は？）$P=NP$

短い言葉で言えば、との結果はどうなりますか？P ≠ N $NP=coNP$$P\ne NP$

私にとって、の最も基本的で驚くべき結果の1つは、なぜ多くの問題に対する短い証明が存在するかということです。（これは、「この崩壊が他にどのような複雑な意味合いを持っているか」から「この崩壊が驚くほど非常に基本的で現実的な理由は何ですか？」まで後退したようなものです）$\mathsf{NP}=\mathsf{coNP}$

たとえば、場合、ハミルトニアンではないすべてのグラフについて、その事実の簡単な証拠があります。同様に、3色のグラフではありません。同様に、同型でないグラフのペアに対して。命題トートロジーについても同様です。$\mathsf{NP}=\mathsf{coNP}$

世界では、命題のトートロジーを証明することの難しさは、いくつかの短いトートロジーが長い証明を持っていることではありません-そのような世界では、すべてのトートロジーは多項式的に短い証明を持っていますが、むしろこれらの証明を効率的に見つけることができない他の理由。$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP} = \mathsf{coNP}$

も仮定すると、仮説はランダム化されたクラスの崩壊も引き起こします。$\mathsf{NP}=\mathsf{RP}$。これらはすべて無条件に Pに崩壊すると推測されていますが、とにかく、それが実際に起こるかどうかはまだ未解決です。いずれにせよ、 N P = c o N Pは、これらのランダム化されたクラスが崩壊することを意味するようには見えません。$\,\,\mathsf{ZPP}=\mathsf{RP}=\mathsf{CoRP}=\mathsf{BPP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$

そうでない場合、つまり、少なくとも である場合、 N P = c o N Pの仮説だけで、これは別の重要な結果をもたらします。$\mathsf{BPP}\neq \mathsf{P}$$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$。これは言うBabai、Fortnow、ニッサンとWigdersonの結果から、以下の点ですべての単項（タリー）の言語であれば、P Hは、に落ちる P、次いで B P P = P。したがって、 B P P ≠ Pの場合、 N P = c o N Pの仮定が P H = N Pを意味するため、それらすべてを Pに入れることはできません。したがって、 N P − Pには集計言語が必要です。$\,\,\mathsf{E}\neq \mathsf{NE}$$\mathsf{PH}$$\mathsf{P}$$\mathsf{BPP}=\mathsf{P}$$\mathsf{BPP}\neq \mathsf{P}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$$\mathsf{PH}=\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}-\mathsf{P}$。最後に、における集計言語の存在は、 E ≠ N Eを意味することがよく知られています。$\mathsf{NP}-\mathsf{P}$$\mathsf{E}\neq \mathsf{NE}$

上記の推論は、仮説が崩壊であるにもかかわらず、実際にはB P P ≠ Pの分離力を増幅するという興味深い効果を示しています。後者だけではE ≠ N Eを暗示していないためです。この「異常」は、推測B P P = Pをサポートしているようです。$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$$\mathsf{BPP}\neq \mathsf{P}$$\mathsf{E}\neq \mathsf{NE}$$\mathsf{BPP}= \mathsf{P}$

超えて授業をカウントするための2つの定義があります。1つはValiantによって定義され、もう1つは戸田によって定義されました。${\bf \#P}$

任意のクラスについてC、定義＃C=∪ A ∈ C（＃P） A、（＃P Aが）機能を意味Aのオラクルを持つ非決定性多項式時間チューリングマシンの受け入れパスをカウントします。${ \rm \underline {Valiant's-Definition:}}$$C$$\#C =\cup_{A\in C}(\#P)^{A}$$({\#P}^A)$$A$

ヴァリアントの定義では、我々はすでに持っている${\bf \#NP} = {\bf \#CoNP}$

任意のクラスCについて、＃を定義します。C関数のクラスであるF一部のようなC-計算2引数述語R及びいくつかの多項式P、すべての文字列xはそれが成り立つ：F（X）=を| | {y| p（${ \rm \underline {Toda's-Definition:}}$$C$$\# .C$$f$$C-$$R$$p$$x$および R （x 、y ）} | | 。$f(x)=||\{y|p(|x|)=|y|$$R(x,y)\}||$

戸田の定義では場合にのみN P = C O N P。${\bf \#.NP} = {\bf \#.CoNP}$${\bf NP} = {\bf CoNP}$

その後、我々はまた、と仮定した場合、その後、我々は持っているだろうF P ≠ ＃のPを。${\bf P}\not = {\bf NP}$${\bf FP} \not = {\bf \# P}$

Ker-i Koは、k番目のレベルでPHを崩壊させるオラクルがあることを示しました。「Ker-I Ko：正確にKレベルの相対化された多項式時間階層。SIAMJ. Comput。18（2）：392-408（1989）」を参照してください。