PハードでないP以外の問題

Peter Shorの回答と、Adam Crumeの以前の質問を読んでいると、 $\mathsf{P}$ ハードであるとはどういう意味かについて、いくつかの誤解があることに気付きました。

問題があるのいずれかの問題があれば-hard とそれに還元可能である（またはあなたが好む場合）削減を。問題を解決する多項式時間アルゴリズムが存在しない場合、問題は外側にあります。これは、外側にあるが -hardではない問題があるはずであることを意味します。FACTORINGが外にあると仮定すると、Peter Shorの答えは、FACTORINGがそのような問題になる可能性があることを示唆しています。 $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{L}$ $\mathsf{NC}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}$

外側にある $\mathsf{P}$ が、 $\mathsf{P}$ ハードではないことが知られている既知の問題（自然または人工）がありますか？因数分解の仮定よりも弱い仮定の下ではどうですか？この複雑性クラスには名前がありますか？

cc.complexity-theory complexity-classes

— アルテム・カズナチェフ
ソース

回答:

場合次いでないスパースセット（偶数非計算もの）とすることができる。 $\mathsf{P} \neq \mathsf{L}$ $\mathsf{P\text{-}hard}$

誤解は、複雑性クラス（および計算上の問題）を、正しくない線形順序を作成するものとして考えることから生じます。問題に「硬さ」という単語を使用すると、クラス内の他の問題を解決することもできますが、これも誤解の一因となります。問題の下限（つまり、複雑度クラスに属さない）は、クラスにとって問題が困難であることを意味しません（つまり、クラスの他の問題を解決するために使用できます）。現在使用されている「硬さ」のより良い代替用語があるかどうかはわかりませんが、過去数十年で使用されてきたものは「普遍性」です（私見では、概念をより忠実に表現し、クラスに参加していないことに対する「困難」。ただし、確立された用語の変更は非常に困難です。

— カベ
ソース

複雑度クラスについて私が見たオイラー図の中には、2番目の誤解を与えてくれたものもあります。

— アルテムKaznatcheev

@Artem、はい、それも要因です。ここで私はクラスで何をすべきかです：私はの万全言及と下これは、学生がすべてが直線的に発注されていることを考えて回避するのに役立つだろうと期待して、削減を。

\mod p

$\mod p$

\mod q

$\mod q$

A C^{0}

$\mathsf{AC^0}$

— カベ

トータルオーダーパーツの問題ははるかに少ないです。特に、NPとcoNPは、複雑なクラスに完全な順序があると考えるべきではないことを示すのに十分だと思います。

— アルテムKaznatcheev

@Artem、良い点（違いがあることを証明することはできませんが）。用語の理由の一部は合理的な下限の欠如であると思います。SATの下限はありませんが、それは普遍的であるため解決が難しいと思いますが、「ユニバーサル」という言葉はそうではありません。特に専門家でない人には、「ハード」と同じ難易度を与えます。しかし、問題の普遍性は問題を解決するのが難しいことを意味すると主張することができますが、問題を解決することの難しさは問題が普遍的であることを意味しないからです。

— カヴェー

すなわち、普遍的な問題は難しい（少なくともクラスの問題と同じくらい難しい）が、難しい問題は普遍的である必要はない。

— カヴェー

私はあなたがに設定されていない構築することができるとは思わされていないラドナースタイルの引数で-hardを。以下に具体例を示します。 $P$ $P$

シェーニングは、「複雑性クラスで対角集合を取得するための均一なアプローチ」（理論、Comp。Sci。18、1982）で、次のことを証明しています。

定理が想定、、と再帰的に提示可能複雑性クラスであり、有限のバリエーションの下で閉じています。そして、そこセットのよう、、および場合と、その後（空のセットまたはすべての文字列）些細なことではないへpolytime多く-1の還元可能である。 $A_1 \notin C_1$ $A_2 \notin C_2$ $C_1$ $C_2$ $A$ $A \notin C_1$ $A \notin C_2$ $A_1 \in P$ $A_2$ $A$ $A_2$

これを適用するために、セット空集合であるとし、あると polytime削減下-completeを設定一連のことにある-hardセット設定、。空のセットを -hardにすることはできません（言語の -hardness の定義では、言語に少なくとも1つのインスタンスがあり、1つのインスタンスが含まれていないことが必要です）。は間違いなくはありません。と Schoeningがためにそれをしないのと同じように、上記の条件（適合するように検証することができ $A_1$ $A_2$ $EXP$ $C_1$ $P$ $EXP$ $C_2 = P$ $P$ $P$ $A_2$ $C_2$ $C_1$ $C_2$ $NP$ -完全なセット; 関連する質問もご覧ください）。我々が得るように、でないで-hard問題、およびそのでない。しかし、、は自明ではないため、は完全な集合に還元できるので、ます。したがって、特に、をハードにことはできません。 $A$ $P$ $EXP$ $A$ $P$ $A_1 \in P$ $A_2$ $A$ $EXP$ $EXP$ $A$ $P$

上記の引数に、に制限で-hard問題全体としてP-難しい問題であるため、再帰presentabilityを確保する必要がない再帰的提示とも数えません。今、これの「自然な」例は別の話です... $P$ $EXP$

— ライアン・ウィリアムズ
ソース

あっても、これがどのように行われるかが気に入っています。誤解しない限り。

L = P

$L = P$

— アルテムKaznatcheev

@Artem：対数空間の縮小可能性の下で難易度を考慮すると、すべての非自明な言語はL-hardです。したがって、L = Pの場合、P以外の言語は対数空間の縮小可能性の下でP-hardになりません。

— 伊藤剛

Pハード以外のP以外の問題を生成する別の方法は、Pと比較できないクラスの完全な問題を取ることです。クラスXはPと比較できません。どちらも他のサブセットではないという意味です。その場合、X-complete問題は必然的にPの外側にあり（そうでなければPにはXが含まれます）、P困難ではありません（そうでなければXにはPが含まれます）。

Pとは比較にならないクラスを考えてみましたが、Pは非常に堅牢なクラスなので、そのようなクラスはあまり多くありません。たとえば、RNCとQNCはPと比較できない場合があります。DSPACE （）はPと比較できない場合もあります。PolyLはPと比較できませんが、ログスペース削減では完全な問題はありません。 $\log^2$

— ロビン・コタリ
ソース

私の意見では、これは異なる表現のほぼ同じ質問であり、必ずしも質問に答える方法ではありません。実際、言語Aは、Aに還元可能な言語のクラスがPと比較できない場合にのみ、PにもP-hardにもありません（還元性の好みの概念を採用します）。現在の質問に関する限り、反対方向に役立つ可能性が高いと思います。つまり、これは現在の質問に対する答えを解釈する別の方法です。

— 伊藤剛