収縮によってグラフ内のアークの数が最小になるマッチングを見つける

混合グラフ所与縁部を有する及びアーク、でマッチングを見つけるにおけるアークの数最小限に、から得られる一致頂点を収縮及び除去することによっての平行な弧。$G=(V,E,A)$$E$$A$$E$$G/M$$G/M$$G$

この問題の（決定バージョン）はNP完全ですか？それは文献で研究されましたか？

あなたの意図がEの無向エッジとAの円弧を平行にするかどうかはわかりませんが、結局それは問題ではありません。この回答では、エッジとアークを平行にしないことを前提としています。

Aの各円弧について、Aにも反対方向の円弧が含まれている特別な場合を考えます。この場合、円弧の方向を無視して無向であると見なすことができます。E エッジを黒のエッジ、A エッジを赤のエッジと呼びます。

これら2つの制限の下でも、問題はMax-2SATからの削減によりNP完全です。ましょうφで2CNF式であるn個の変数とM個の句。グラフ構築Gを 3とn個の頂点は、V 1、... 、V N、xは1、... 、X nは、ˉ X 1、... 、ˉ X nは次の通りです。 Gは2$x_1,\dots,x_n$$v_1,\dots,v_n,x_1,\dots,x_n,\bar{x}_1,\dots,\bar{x}_n$N黒エッジ：及び（V I、ˉ X I）のために、私は = 1、...、N。 Gは5 （$(v_i,x_i)$$(v_i,\bar{x}_i)$赤いエッジ。まず、赤いエッジでi≠jのviとvjを接続します。すべての異なる変数の次には、xは、I及びXjは、リテラルの4対の検討（L、L'）=（XI、XのJ）、（XI、 ˉ X J）、（ ˉ X I、Xの$5\binom{n}{2}-m$$v_i$$v_j$$x_i$$x_j$。Connectはリテラル L及び Lを「赤色エッジ場合にのみ句で（ˉ L ∨ ˉ L '）に表示されませんφ。$(l,l')=(x_i,x_j),(x_i,\bar{x}_j),(\bar{x}_i,x_j),(\bar{x}_i,\bar{x}_j)$$l$$l'$$(\bar{l}\vee\bar{l}')$

収縮後の赤いエッジの数を最小限に抑えるために、黒いエッジでの最大マッチングのみを考慮する必要があることは明らかです。それはまた、すべての最大のマッチングが明らかであるM黒の縁には、から成るn個接続するエッジにL 、I ∈ { X I、ˉ X I }のために、私は ...、1 =、N。真理値の割り当て{ l 1、… 、l n }を使用して、この最大一致Mを特定します。Mと契約した後の確認は簡単です$v_i$$l_i\in\{x_i,\bar{x}_i\}$$\{l_1,\dots,l_n\}$平行エッジを削除すると、グラフは正確にエッジ、赤、kはこの真理割り当てによって満たさ節の数です。したがって、黒いエッジでマッチングを縮小した後に赤いエッジの数を最小化することは、満足する句の数を最大化することと同じです。$4\binom{n}{2}-k$