パリティ

$AC^0$ は、NOTゲートと無制限のファンインANDおよびORゲートを備えた、一定の深さの多項式サイズの回路のクラスで、入力とゲートにも無制限のファンアウトがあります。

ここで、新しいクラスを考えてみましょう。これをと呼びますこれは似ていが、入力とゲートのファンアウトは最大です。このクラスは明らかにです。実際、ここに記載されているように、厳密にに含まれています。したがって、PARITYは明らかににはありません。 $AC^0_{bf}$ $AC^0$ $O(1)$ $AC^0$ $AC^0$ $AC^0_{bf}$

でも通過しない PARITY証明はありますか？言い換えれば、スイッチング補題やRazborov / Smolensky法のような強力な技術を使用しない証拠はありますか？ $\notin AC^0_{bf}$ $AC^0$

cc.complexity-theory circuit-complexity

— アダム・ペツニック
ソース

これは、文献では

と呼ばれています：qwiki.stanford.edu/index.php/Complexity_Zoo :

#nc0

{N C}^{0}

$\mathsf{NC}^0$

— Hsien-Chih Chang張顯之

いいえ、ファニンは無制限なので、そうではありません。

— -domotorp

ああ、ファンアウトという言葉を誤解しています。指摘してくれてありがとう。

— Hsien-Chih Chang張顯之

@Kavehによる関連投稿：cstheory.stackexchange.com/q/1824/1800、露出を増やすために以下のコメントから移動しました。

— Hsien-Chih Chang張顯之

ところで、「制限付きファンアウト」とは何ですか？

— xxx ---

回答:

私は何かを見逃すかもしれませんが、はフォーミュラと同じではありませんか？すべての入力ビットはせいぜい限られた数のゲートにしか影響を及ぼさないため、すべてのゲートに出力が1つしかないと仮定して（おそらくいくつかのことを複製した後）、ゲートではなくプッシュダウンすることもできます。パリティの公式サイズはn ^ 2であることがわかっています（トロイJ.リー、「PARTYの公式サイズ」、2007を参照）。回路のすべてのレベルでO（n）ゲートしか持てないため、パリティははありません。 $AC^0_{bf}$ $AC^0_{bf}$

— domotorp
ソース

「式」とは、線形サイズの式を意味しますよね？そして、サイズあなたの平均式サイズで...

— アレッサンドロCosentinoさん

最終的にはあなたの答えは正しいと思いますが、理由はもっと微妙です。ゲートのファンアウトは、回路の一部を複製することで削減できますが、これにより式のサイズが大きくなります。（式のサイズは入力ワイヤの数に相当します。）ゲートのファンアウトは最大2であるとします。次に、最下層のゲートのファンアウトを減らすために、各ゲートと各入力を複製し、式のサイズを2倍にします。それぞれの層に対してこのプロセスを繰り返すことサイズの式が得られる

回路深さを。この場合、

は定数であるため、式のサイズは線形です。

O (2^{d} n)

$O(2^dn)$

d

$d$

d

$d$

— アダムペッツニック

これはまさに私の意図でした。私の説明が貧弱だったらごめんなさい。

— domotorp

@アレッサンドロ：あなたの質問を誤解してすみません。しかし、私の最初の印象は、サイズ任意のdepth-d 回路を程度のサイズのdepth-d 式（fanout 1）に変換できることです。下から（入力の隣に）レイヤーごとに移動します層、および同じゲートの複数のコピーを取ります。各層で、ゲートの数は最大での係数で増加できます。任意の下限、この手段のための式が下限意味のための回路 $S$ $S^d$ $S$ $S$ $AC^0$ $S^{1/d}$ $AC^0$ 。だから、のために簡単に下限証明を期待することは困難であるの式：の世界では、定数です。 $AC^0$ $AC^0$ $d$

ところで、言語（厳密に1の文字列）には、単項式を持つ単純なDNF（深さ2 式）があります。 $X$ $1$ $n$

— スタシス
ソース

私たちがよりよくより行うことができますように私には思える

ファンアウトが制限されているので、我々が得ることができる

最大ファンアウトです。さらに、各入力ビットは制限された回数だけ使用されるため、回路のサイズ（

）は線形です。

S^{d}

$S^d$

k^{d} S

$k^dS$

k

$k$

S

$S$

— カヴェー

ことを確認する別の方法

厳密に含まれる

すべての入力ビットが最もkにおけるファンアウト有しているので、最大であることに留意することである

ゲート1層目、及び

でゲート2番目のレイヤーなど。深さが一定であるため、これは、回路に合計

ゲートがあることを意味します。したがって、超線形サイズの回路を必要とする

関数は、

はありません。

A C_{b f}^{0}

$AC^0_{bf}$

A C^{0}

$AC^0$

k n

$kn$

k^{2} n

$k^2n$

O (n)

$O(n)$

A C^{0}

$AC^0$

A C_{b f}^{0}

$AC^0_{bf}$

— ロビンコタリ

この「入力変数のコピーがk個を超えない」モデルが興味深い理由を誰かに教えてもらえますか？深さが一定の場合でも。このようなモデルはどのような状況で発生しますか？好奇心が強いです。

— Stasys

@ Stasys、Adamと私の質問の両方は、ファンアウトゲートなしで定義される量子クラス

研究から生じています。

Q A C^{0}

$QAC^0$

— アレッサンドロコセンティーノ

A C^{0}

$AC^0$

n \log n

$n\log n$