対角化はクラス分離の本質を捉えていますか？

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対角化と相対化の結果に基づいていないクラス分離を見たことを覚えていません。対角化の結論や対角化されたチューリングマシンの構築では非相対化引数が使用される可能性があるため、対角化を使用して残りの既知のクラスを分離できます。関連する質問を次に示します。

対角化に基づいていないクラス分離証明はありますか？

そしてそうならば

それらの背後にある自己参照メカニズムを見つけることができますか？

さらに、

すべてのクラス分離には「非公式な意味での」「標準的な自然」証明がありますか？

もしそうなら、未解決の質問に対する他の証明スキームではなく、相対化しない議論を見つけようとするべきです。

すべての非対角プルーフを対角プルーフに書き換えることはできますか？

— ルドヴィック・パティ
ソース

読みやすくするために質問を編集しました。あなたの意図を変えてしまった場合はおologiesび申し上げます。

— アンドラスサラモン

@Andrásエディションをありがとう。よくわからない。1つの変更点があります。つまり、対角化は内部で非相対化引数を使用できるため、失敗しなかったことを意味します。相対化と対角化は直交していると思います。そして、対角化を使用しない証明が深い自己参照メカニズムを使用するとは思わないが、証明の深い理解においてのみ、深い自己参照メカニズムを発見することができる^^。これらの特定のポイントを再編集します。

— ルドヴィックパティー

T C^{0}

$TC^0$

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対角化の形式に依存します。Kozenには、複雑さのクラス分離は対角化の証拠でなければならないことを示す論文があります。

— ランス・フォートナウ
ソース

+1は、私はあなたのブログでこれを読んで、私は:)あなたの答えを待っていたと思う

— ムハンマド・アル・Turkistany

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対角化は相対化するので、矛盾する相対化は対角化に基づくことができないことを意味する複雑な結果になります。Arora-Barakの引用：

$O$ $O \subseteq \{0, 1\}^*$

$P$ $NP$ $P\ne NP$

$P^{PH} \subseteq IP$

— MS Dousti
ソース

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Baker、Gill、およびSolovayは、対角化が機能しないとは言わなかったが、「通常の対角化方法が適切であるとは考えにくい」というより微妙な表現をしたことに注意してください。

— アンドラスサラモン

@Sadeq対角化が相対化することに同意しません。たとえば、相対性を考慮しない計算局所性プロパティを考慮したプロパティに基づいて、対角マシンを定義できます。

— ルドヴィックパティー

代数化は手法ではなく、相対化に似た概念です。代わりに算術を意味すると思います。そして、自然証拠との関係は何ですか？

— クリストファーアーンスフェルトハンセン

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@Sadeq：BGSは、Arora-Barakが意図していると思われるよりも、より包括的な対角化の定義を明確に許可していました。ロバート・ソロヴェイのような集合理論家が、相対化しない対角化の他の概念があるかもしれないと考えるなら、おそらくその可能性を開いたままにしておくべきです。A＆Bの75ページでは、ある種の対角化がチューリングマシンに関する非相対化の事実を使用する可能性を否定していません。まだ出版されていないArora-Impagliazzo-Vaziraniの原稿は、非常に微妙な問題が関係していることを示しています。 cseweb.ucsd.edu/~russell/ias.ps

— アンドラスサラモン

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これについては、いくつかの議論があります。たとえば、AIV論文に対するFortnowの回答を参照してください：people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/relative.pdf

— Suresh Venkat

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Fortnowの答えに加えて、Kozenの研究を続けて、Nash、Impagliazzo、Remmelは強い対角化の概念を形式化し、相対化しないという証拠を与えました。最初の質問に部分的に答えるために、彼らの結果は、いくつかのクラス分離証明が強力な対角化に基づいていないことを示しています。以下に要約を示します。

強い対角化を定義および研究し、それを弱対角化と比較します（[7]で暗黙的）。[7]のKozenの結果は、事実上すべての分離を弱い対角化として再キャストできることを示しています。強い対角化によって分離できない言語のクラスがあることを示し、強い対角化が相対化しないという証拠を提供します。また、2種類の間接対角化を定義し、その力を研究します。

普遍的な言語の観点から強力な対角化を定義しているため、その複雑さを研究しています。弱いユニバーサル言語と厳格なユニバーサル言語を区別して比較します。最後に、普遍的な言語の明らかに弱い亜種を分析します。これは疑似普遍言語と呼ばれ、弱い閉包条件下では簡単に普遍的な言語が得られることを示しています。

1-ナッシュ、A。、インパリアッツォ、R。、レメル; J.「ユニバーサル言語と対角化の力」。第18回計算複雑性に関するIEEE会議（CCC'03）、p。337、2003。

— モハマドアルトルコキスタニー
ソース

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対角化に基づいていないクラス分離証明はありますか？

はい、ありますが、均一な複雑さのクラスはありません。そのような証明を除外するという議論はありませんが、これまでのところ、均一な複雑さのクラス間のすべての分離は、どこかで対角化を使用しているようです。

それらの背後に自己参照メカニズムを見つけることができますか？

不均一な複雑さのクラス分離は、均一なクラスではなく列挙できないため、「自己参照」引数に変換できるとは思いません。自己参照引数の場合、クラスのメンバーを列挙する必要があります。

すべてのクラス分離には「非公式な意味での」「標準的な自然」証明がありますか？

「標準」の意味に依存します。私の知る限り、「2つの証明が本質的に同一であるとき」という質問に対する答えにはコンセンサスがありません。

もしそうなら、未解決の質問に対する他の証明スキームではなく、相対化しない議論を見つけようとするべきです。すべての非対角プルーフを対角プルーフに書き換えることはできますか？

他の人が指摘したように、答えは対角化の意味に依存します。より一般的な意味では（ランスによってリンクされたKozenの論文）、2つの異なる「複雑度クラス」（Kozenの論文で定義されている）に対する答えはイエスです。引数を「対角化」引数に変えることができます。だが：

これは、Kozenの論文に記載されている要件を満たさない複雑度クラスには適用されません（つまり、Kozenの「複雑なクラス」ではありません）。
$P$ $PSpace$
重要なことは、メソッドがより一般的であるほど、そのアプリケーションがより限定されることです（それが単独で使用される場合）問題が共有されていない場合、またはメソッドをそれらに適用したい他の問題と同様のものに置き換えることができない場合、問題についての情報。
分離引数を「対角化」引数に変換できます（上記の制限を考慮して）が、「対角化関数が実際にクラスを分離する」という事実自体に証明が必要です。Kozenの論文は、クラスが異なる場合に対角化関数が存在することを示していますが、特定の関数が実際に対角化されていることをどのように知ることができますか？証拠が必要です！そして、論文（AFAIU）は、これらの証拠をどのように思い付くかについて、私たちに何のアイデアも与えません。我々は分離引数を持っている場合、我々は対角化証拠にそれを回すことができますが、それはだけで後証拠を持っている。元の証明は新しい対角化証明の一部として機能し、関数が実際に対角化されていることを示します。（そして、ある意味では、Kozenの論文から構築された対角化証明は、元の引数に完全に依存するため、「標準」ではありません。）

— カベ
ソース

2番目の質問（それらの背後に自己参照メカニズムを見つけることができますか？）および不均一性について、より注意する必要があります。「自己参照メカニズム」とはどういう意味かをもっと具体的にする必要があると思います。「自己参照」という言葉は、（特に哲学的な作品で）頻繁に悪用される言葉の1つであるため、注意が必要です。通常の自己参照メカニズム（Godelの意味では、R。Smullyanの著書 "Diagonalization and Self-Reference"、1994も参照）では、言語の小さなクラスのオブジェクト（ここではTM）を列挙する必要があります。しかし、他にも使用するものがあります

— -Kaveh

「自己参照」という言葉を使用してください。EgK Mulmuleyは、GCTの「自己参照パラドックス」と呼ばれる不均一な設定でそれを使用しています。しかし、「自己参照メカニズム」を使用しているときにそれがあなたが念頭に置いているものであるかどうかを私に見ることは困難です。

— カヴェー