量子PAC学習

バックグラウンド

関数は、深さd [1]の回路を学習するためにランダムに選択されたO （2 l o g （n ）O （d ））クエリを必要とする古典的アルゴリズムで準多項式時間でPAC学習可能です。2 n o （1 ）因数分解アルゴリズムがない場合、これは最適です[2]。もちろん、量子コンピューターでは因数分解する方法がわかっているので、この下限は役に立ちません。さらに、最適な古典的アルゴリズムは関数のフーリエスペクトルを使用するため、「量子化してください！」と叫びます。$AC^0$$O(2^{log(n)^{O(d)}})$$2^{n^{o(1)}}$

[1] N.リニアル、Y。マンスール、N。ニサン。[1993]「定深度回路、フーリエ変換、学習可能性」、Journal of the ACM 40（3）：607-620。

[2] M.ハリトノフ。[1993]「分布固有の学習の暗号の難しさ」、Proceedings of ACM STOC'93、pp。372-381。

実際、6年前、Scott Aaronsonは学習可能性を量子コンピューティング理論の10のセミグランドチャレンジの 1つとしています。$AC^0$

質問

私の質問は3つあります。

1）量子コンピューターが暗号化の仮定を与えられた古典的なコンピューターよりも速く学習できる自然な関数族の例はありますか？

2）学習可能性に特に進展はありましたか？（または少し野心的なT C 0）$AC^0$$TC^0$

3）学習可能性に関して、アーロンソンは次のようにコメントしている。誰かがニューラルネットとT C 0回路の重み更新がどのように関連するかについてのリファレンスを提供できますか？（しきい値ゲートがシグモイドニューロンのように見えるという事実は別として）$TC^0$$TC^0$（この質問はすでに質問され、回答されています）

最初の質問でショットを撮ります。

量子コンピューターが暗号化の仮定を与えられた古典的なコンピューターよりも速く学習できる自然な関数族の例はありますか？

まあ、それは正確なモデルと最小化されているリソースに依存します。1つのオプションは、標準古典モデルのサンプルの複雑さ（分布に依存しないPAC学習）を、量子サンプルが与えられた量子モデルと比較することです（つまり、ランダム入力と対応する関数値が与えられる代わりに、アルゴリズムが提供されます）入力とその関数値に対する量子重畳を使用して）。この設定では、量子PAC学習と従来のPAC学習は基本的に同等です。サンプルの複雑さの古典的な上限とサンプルの複雑さの量子下限は、次の一連の論文で示されるように、ほぼ同じです。

[1] R. ServedioとS. Gortler、「量子学習と古典学習の等価性と分離」、SIAM Journal on Computing、vol。02138、pp。1–26、2004。

[2] A. AticiおよびR. Servedio、「量子学習アルゴリズムの改善された境界」、Quantum Information Processing、pp。1–18、2005。

[3] C. Zhang、「量子PAC学習のためのクエリの複雑さの改善された下限」、情報処理レター、vol。111、いいえ。1、40〜45ページ、2010年12月。

$O(n^{\log n})$

[4] N. BshoutyおよびJ. Jackson、「量子の例のオラクルを使用した均一分布でのDNFの学習」、SIAM Journal on Computing、vol。28、いいえ。3、pp。1136–1153、1998。

[5] J.ジャクソン、C。タモン、およびT.山上、「量子DNF学習可能性の再検討」、Computing and Combinatorics、pp。595–604、2002。

[6] A.AtıcıおよびR. Servedio、「Juntasの学習とテストのための量子アルゴリズム」、量子情報処理、vol。6、いいえ。5、pp。323–348、2007年9月。

一方、量子コンピューティングを後処理ツールとして使用する（つまり、量子サンプルを使用しない）標準的なPACモデルのみに関心がある場合、ServedioとGortler [1]は、概念クラスがKearns and Valiantは、古典的にPACを学習することはできませんが、Blum整数の因数分解の難しさを想定していますが、Shorのアルゴリズムを使用して量子PACを学習できます。

メンバーシップクエリによる正確な学習のAngluinのモデルの状況は、やや似ています。量子クエリは、クエリの複雑さの観点からのみ多項式の高速化を実現できます。ただし、一方向関数の存在を仮定すると、時間の複雑さが指数関数的に高速化されます[1]。

2番目の質問についてはわかりません。私もそれについてもっと聞いてうれしいです。

これは確かにあなたの質問に対する完全な答えではありませんが、うまくいけば最初の部分に役立つでしょう。量子アルゴリズムを使用して未知の神託を識別することにかなりの関心が寄せられたようです。この一例が、Floess、Andersson、Hilleryの最近の論文（arXiv：1006.1423）で、Bernstein-Vaziraniアルゴリズムを適用して、入力変数（juntas）の小さなサブセットのみに依存するブール関数を識別します。彼らはこのアプローチを使用して、低次多項式のoracle関数を決定します（それらは線形、2次、3次の場合を明示的に処理します）。