アルゴリズムの問​​題には、カウントによって支配される時間の複雑さがありますか？

私がカウントと呼ぶのは、関数の解の数を見つけることにある問題です。より正確には、関数（必ずしもブラックボックスではない）が与えられた場合、近似 。＃{ X ∈ N | F （X ）= 1 } = | f − 1（1 ）$f:N\to \{0,1\}$$\#\{x\in N\mid f(x)= 1\}= |f^{-1}(1)|$

ある種のカウントを伴うアルゴリズムの問​​題を探しています。時間の複雑さはこの根本的なカウントの問題によって大きく影響されます。

もちろん、私は自分自身で問題を数えていない問題を探しています。そして、これらの問題に関するドキュメントを提供していただければ幸いです。

これはSureshの回答のフォローアップです。彼が言うように、計算の幾何学には、出力の複雑さがアルゴリズムの実行時間の自明な下限である多くの構築上の問題があります。例：平面線配置、3次元ボロノイ図、平面可視性グラフはすべて、最悪の場合は組み合わせの複雑さを持っているため、これらのオブジェクトを構築するアルゴリズムはすべて時間を必要とします最悪の場合。（これら3つの問題すべてに時間アルゴリズムがあります。）Ω （n 2）O （n 2$\Theta(n^2)$$\Omega(n^2)$$O(n^2)$

しかし、同様の制約が決定問題にも適用されると推測されます。たとえば、平面内にn本の線のセットがある場合、3本の線が共通点を通過しているかどうかをどのくらい簡単に確認できますか？さて、ライン（それらの交点とそれらの間のセグメントによって定義される平面グラフ）の配置を構築できますが、それには時間かかります。私の博士論文の主な結果の1つは、計算の制限されているが自然な決定木モデル内では、三重交差を検出するのに時間を要するということでした。直感的に、我々はしなければならないすべて列挙重複の交点と外観を。Ω （n 2）（$\Theta(n^2)$$\Omega(n^2)$$\binom{n}{2}$

同様に、要素のトリプルが合計してゼロになる一連の数値があります。したがって、特定のセットに合計がゼロになる 3つの要素が含まれているかどうかをテストするアルゴリズム（特定のクラスの決定木のモデル）は timeを必要とします。（ビットレベルの並列処理を介して一部のログを削除することは可能ですが、何であれ。）$\Theta(n^2)$$\Omega(n^2)$

私の論文からの別の例は、Hopcroftの問題です。平面内の点と本の線を考えると、どの点にも線が含まれます。最悪の場合のポイントライン発生率はことが知られています。制限された（しかしまだ自然な）計算モデルでは、入射が1つでもあるかどうかを判断するのに時間が必要であることを証明しました。直観的に、すべての -incidencesの近くに列挙し、それぞれをチェックして、それが実際にインシデントであるかどうかを確認する必要があります。$n$$n$$\Theta(n^{4/3})$$\Omega(n^{4/3})$$\Theta(n^{4/3})$

正式には、これらの下限はまだ推測に過ぎません。なぜなら、特にホプクロフトの問題では、手元の問題に特化した計算の制限されたモデルが必要だからです。しかし、RAMモデルでは、これらの問題のために下限を証明することは、他の下限問題として可能性が同じくらい難しいです（つまり、私たちは見当もつかない） -参照PatrascuとウィリアムズSODA 2010紙指数時間に3SUMの関連する一般化を仮説。

これがあなたが言っていることかどうかは完全にはわかりませんが、問題を数えているようには見えない問題がたくさんありますが、それらを解決する最善の方法はオブジェクトを数えることです。そのような問題の1つは、グラフに三角形が含まれているかどうかを検出することです。最速の既知のアルゴリズムは、隣接行列の立方体のトレースを計算することです。これは、（無向）グラフの三角形の数の6倍です。これは、Coppersmith-Winograd行列乗算アルゴリズムを使用してO（）時間かかり、1978年にItaiとRodehによって最初に気付きました。同様に、kクリークを検出する最善の方法は、行列乗算によるk-クリークの数。$|V|^{2.376}$

Valiantは、行列のパーマネントを見つける問題が#Pで完全であることを証明しました。参照してくださいウィキペディアのページを問題に。#Pは、NPマシンの受け入れパスの数のカウントに対応する複雑度クラスです。

二部平面（および対数）完全一致は、平面一致をカウントするためのKastelynのアルゴリズム（GalluccioおよびLoeblによって拡張され、Kulkarni、MahajanおよびVardarajanによって並列化）が問題の検索バージョンでも重要な役割を果たす問題です。関連する参考文献はすべて、次のペーパーに記載されています。

NCでの完全なマッチングと完全な半積分マッチング。Raghav Kulkarni、Meena Mahajan、Kasturi R. Varadarajan。Chicago Journal of Theoretical Computer Science、Volume 2008 Article 4。

「大きく影響を受けた」は、縮小ではなく、ソフトな制約として扱います。その意味で、計算幾何学の多くの問題には、それらの基礎となるいくつかの組み合わせ構造によって制限される実行時間があります。たとえば、形状の配置を計算する複雑さは、そのような配置の本質的な複雑さに直接関係しています。

これの別の話題の例は、ポイントパターンマッチングのさまざまな問題に、ポイントセットで繰り返される距離の数などの量を見積もるまでの実行時間があることです。

これがあなたが探していたものかどうかはわかりませんが、NP-Complete問題の相転移は確率論的議論に大きく依存しています。

LLLは、いくつかの「低密度」サブセット和問題を解決するために使用されており、その成功は、サブセット和ソリューションであるという条件を満たす高確率の短いラティスベクトルに依存しています。 Survey Propagationは、ソリューション空間の構造（および変数を修正するときのソリューションの数）に依存して、クリティカルしきい値に近いソリューションを見つけます。

Borgs、Chayes、Pittelは、（Uniform）Random Number Partition Problemの相転移をほぼ完全に特徴付けているため、Number Partition Problemの特定の（ランダム）インスタンスに対して期待できるソリューションの数を特徴付けています。