数値分割の特殊なケースのNP困難性

次の問題を考慮してください。

• 一組の所与の$n = k m$正の数$\{ a_1, \dots, a_n \}$ここで$k \ge 3$定数であり、我々は、中にセットを分割する$m$ サイズのサブセット$k$各部分集合の和の積となるよう最大化されます。

この問題は、各パーティションの番号の数に制限があることを除けば、よく知られているウェイ番号のパーティション分割とよく似ています。以下のために以下の簡単な多項式アルゴリズムを提案することができ、$m$$k = 2$

• 番号がソートされている、つまりと仮定します 。。。< a n。次いで、ためにI ≤ M割り当てI サブセットに私は、のためにI > M、サブセットに割り当てN - I + 1。$a_1<a_2<...<a_n$$i≤m$$a_i$$i$$i>m$$n−i+1$

アルゴリズムが機能する理由を見るのは難しくありません。任意の2つのビンを選択するだけです。数字を入れ替えても、製品の量は増えません。

しかし、が大きい場合、多項式時間で問題を解決できるかどうか疑問に思いますか？誰かがそれがnp-hardnessであることを示すことができれば、私も感謝します。$k$

注：ワイヤレスネットワークでスケジューリングの問題に取り組んでいるときに問題が発生しました。問題を解決するための優れたヒューリスティックアルゴリズムを見つけました。しかし、しばらくして、私は問題が理論的に興味深いかもしれないと思った。

（これは質問に対する私のコメントのもう少し詳細なバージョンです。）

turkistany質問のコメントで示唆したように、この問題は、すべての定数のためのNP困難であるKからの還元による≥3 k個の -partitionの問題。縮約によってインスタンスはまったく変更されません。合計がサイズkのmセットに分割できる場合に限り、合計の積の最大値が少なくとも（∑ a _i / k）^mであることに注意してください。すべて等しい。

kパーティション問題への入力は通常、すべてが明確ではないkm数であると定義されており、これはそのNP完全性の標準的な証明（Garey and Johnsonのものなど）に不可欠です。したがって、上記の削減は、入力がセットではなくマルチセットになることが許可されている現在の問題のわずかな一般化のNP困難性のみを証明します。ただし、入力の数値がすべて別個である必要がある場合でも、kパーティションの問題はNP完全なままなので、このギャップを埋めることができます。k = 3の場合については[HWW08]を参照してください（Serge Gaspersの回答も参照してください）別の質問）、kのより大きな値に対して簡単に変更できます。

さらに、ここに記載されているものはすべて、入力の数値が単項で与えられた場合でも、NP完全/ NPハードのままです。

[HWW08]ヘザー・ヒューレット、トッド・G・ウィル、ゲルハルト・J・ウーギンガー。次数シーケンスのマルチグラフ実現：最大化は簡単で、最小化は困難です。 オペレーションズ・リサーチレター、36（5）：594から596、9月2008 http://dx.doi.org/10.1016/j.orl.2008.05.004