数値分割の特殊なケースのNP困難性


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次の問題を考慮してください。

  • 一組の所与のn=km正の数{a1,,an}ここでk3定数であり、我々は、中にセットを分割するm サイズのサブセットk各部分集合の和の積となるよう最大化されます。

この問題は、各パーティションの番号の数に制限があることを除けば、よく知られているウェイ番号のパーティション分割とよく似ています。以下のために以下の簡単な多項式アルゴリズムを提案することができ、mk=2

  • 番号がソートされている、つまりと仮定します < a n。次いで、ためにI M割り当てI サブセットに私は、のためにI > M、サブセットに割り当てN - I + 1a1<a2<...<animaiii>mni+1

アルゴリズムが機能する理由を見るのは難しくありません。任意の2つのビンを選択するだけです。数字を入れ替えても、製品の量は増えません。

しかし、が大きい場合、多項式時間で問題を解決できるかどうか疑問に思いますか?誰かがそれがnp-hardnessであることを示すことができれば、私も感謝します。k

注:ワイヤレスネットワークでスケジューリングの問題に取り組んでいるときに問題が発生しました。問題を解決するための優れたヒューリスティックアルゴリズムを見つけました。しかし、しばらくして、私は問題が理論的に興味深いかもしれないと思った。


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うーん。単純な多項式アルゴリズムに興味があります。k=2
mjqxxxx

2
@モーゼン、ありがとう。動機、背景、およびk = 2のケースについて知っていることに関するこれらのコメントを質問に含めることをお勧めします。それはおそらく他の人にとってより興味深いものになるでしょう。
カヴェー

4
私の直感では、各サブセットの合計の積は、合計が等しい場合、または最大のペアごとの差が最小の場合に最大化されます。この仮定の下では、NP完全な3パーティション(k = 3の場合)から簡単に削減できます。
モハマドアルトルコ

3
(数時間前に投稿した2つのコメントを削除して、より正確に書き換えました。)turkistanyが示唆したように、kパーティションの問題はこの問題に還元可能であるため、この問題は定数k≥3ごとにNP困難です。唯一の関連するプロパティは、合計がすべて等しいサイズkのmセットに数値を分割できる場合に限り、合計の積の最大値が少なくとも(thea_i / k)^ mであることです。製品は、最大のペアワイズ差を最小化するパーティションによって常に最大化されるわけではありませんが、正確な問題を考慮する限り、それは無関係です。(詳細)
伊藤剛

3
(続き)入力をmultisetではなくsetにする必要がある場合、k-partitionの問題はセットでもNP-completeのままであるため、この削減は引き続き機能しますが、NP-completenessの標準的な証明なので注意してください3パーティションの問題は、入力に同じ整数を複数回含めることが許可されている場合にのみ機能します。明確な数字による3分割問題の計算の複雑さを参照してください(注意:自己宣伝)。
伊藤剛

回答:


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(これは質問に対する私のコメントのもう少し詳細なバージョンです。)

turkistany質問のコメントで示唆したように、この問題は、すべての定数のためのNP困難であるKからの還元による≥3 k個の -partitionの問題。縮約によってインスタンスはまったく変更されません。合計がサイズkのmセットに分割できる場合に限り、合計の積の最大値が少なくとも(∑ a i / kmであることに注意してください。すべて等しい。

kパーティション問題への入力は通常、すべてが明確ではないkmであると定義されており、これはそのNP完全性の標準的な証明(Garey and Johnsonのものなど)に不可欠です。したがって、上記の削減は、入力がセットではなくマルチセットになることが許可されている現在の問題のわずかな一般化のNP困難性のみを証明します。ただし、入力の数値がすべて別個である必要がある場合でも、kパーティションの問題はNP完全なままなので、このギャップを埋めることができます。k = 3の場合については[HWW08]を参照してください(Serge Gaspersの回答も参照してください)別の質問)、kのより大きな値に対して簡単に変更できます。

さらに、ここに記載されているものはすべて、入力の数値が単項で与えられた場合でも、NP完全/ NPハードのままです。

[HWW08]ヘザー・ヒューレット、トッド・G・ウィル、ゲルハルト・J・ウーギンガー。次数シーケンスのマルチグラフ実現:最大化は簡単で、最小化は困難です。 オペレーションズ・リサーチレター、36(5):594から596、9月2008 http://dx.doi.org/10.1016/j.orl.2008.05.004

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