P = NPがP = AP（つまりP = PSPACE）を意味しないのはなぜですか？

場合、多項式階層が崩壊し、ことはよく知られています。$\mathbf{P}=\mathbf{NP}$$\mathbf{P}=\mathbf{PH}$

これは、Oracleマシンを使用して帰納的に簡単に理解できます。問題は、なぜ一定レベルの交替を超えて帰納的プロセスを続け、（別名）？$\mathbf{P}=\mathbf{AltTime}(n^{O(1)})$$\mathbf{AP}=\mathbf{PSPACE}$

直感的な答えを探しています。

$\mathbf{P}=\mathbf{AltTime}(O(1))$（$=\mathbf{PH}$）の証明は、を使用した帰納法$\mathbf{P}=\mathbf{NP}$です。帰納法は、任意の自然数 $k$、$\mathbf{P}=\mathbf{AltTime}(k)$（および$\mathbf{AltTime}(O(1))$ ただの組合です）。

代替の数が入力サイズによって変化する可能性がある場合（つまり、マシンの可能な代替の数が数ではなく入力サイズの関数である場合、つまり、マシンの実行を示していない場合、誘導は機能しません。単一の入力で交互に削減できるので、すべての入力でのマシンの実行を交互に「均一に」削減できることを示しています。

同様の、しかしより単純なステートメントを見てみましょう。私たちは、アイデンティティ機能することを示したいと思います、最終的にはすべて一定の機能を支配（F « グラム IFFのためのすべてが、有限個のn個のF （N ）≤ G （N ））。それは帰納法で証明することができます。すべてのためのK、K « N（すなわち、F 、K « iは、dはF K（N ）= $id(n)=n$$f \ll g$$n$ $f(n) \leq g(n)$$k$$k \ll n$$f_k \ll id$$f_k(n)=k$）、しかし、我々は次のように非定数の機能のためにこれを持っていない、N 2 « ̸ N。$n^2$$n^2 \not \ll n$

多項式階層をインタラクティブな証明の階層と比較します。いくつかの固定kに対して、対話型証明にk個の交替がある場合-IP（k）-結果の複雑度クラスは、2つの交代で得られるものよりも強力ではありません-つまり、IP（k）= IP（2 ）= AM（仮定K ≥2）。あなたが交替の多項式数を許可する場合は、あなたはAMよりもはるかに大きくなると考えられている複雑性クラスIP = PSPACEを取得するには、クラスがΠに含まれている₂多項式階層の第二のレベルでは、P。そのため、この現象は実際に発生します（ただし、私たちが知る限りではありませんが、多項式階層で）。

これは、IP（k）のサイズnの問題を取り、それをIP（2）の問題に変える縮小が問題サイズを爆破するために発生します。そのため、特定のIP（k） 、kを変化させた場合、結果の削減はkの多項式である問題を与えません。

定数と無制限の交互の間のギャップに関する少しの直観があります：一定回数繰り返される多項式演算は多項式ですが、多項式回数繰り返されることは指数関数的です。たとえば、それ自体で繰り返される乗算を実行します。

v = 2
for(i=1 to n)
  v = v*v

反復回数は線形であり、出力は指数関数です。ただし、nを修正すると、初期値のサイズの多項式になります。

以下では、ピーターの答えのポイントを少し拡大して、一定数以上のステップで数量詞の削除を実行し、失敗した場所とそのような試みから何かを救うことができるかどうかを確認します。

一定回数以上$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$を増幅してみましょう。

$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$と仮定します。したがって、Ext-Circuit-SATを解決する多項式タイムマシンがあります（特定の回路の満足のいく拡張と、その入力への部分的な割り当てはありますか？）。

より正式に、我々はpolytimeアルゴリズム持っ$A$多項式走行時間と$p(n)\in\rm{poly}(n)$ ST

ブール回路$\varphi$、および入力への部分的な割り当て$\tau$が与えられると、
$A$はφを満たす$\tau$拡張がある場合は「yes」を返し、そうでない場合は「no」を返します。$\varphi$

一定の時間を経過するには、数量詞の削除を効果的に行う必要があります。クック・レビンの定理は建設的な定理であり、実際には多項式時間アルゴリズム$Cook$ st

DTM $M$ 2つの入力と3つの単項数$n$、$m$、および$t$を受け取ると、
$Cook(M, n, m, t)$は、長さの入力でMをシミュレートするサイズ$O(t^2)$ブール回路を返します（N 、M ）のためのT$M$$(n,m)$$t$手順。

これらを使用して$\mathsf{P}=\mathsf{PH}$引数を拡張し、TQBF（実際にはTQBCircuit、つまり完全に量子化されたブール回路問題）を解くアルゴリズムを取得してみましょう。

次のようにアルゴリズムの考え方は次のとおりです。私たちは繰り返し使用$Cook$上に$A$所与定量化回路から数量を除去します。数量詞の数は線形であるため、多項式時間アルゴリズムを取得したいと考えています（多項式時間サブルーチン$Cook$を使用して、多項式的に多くのステップを持つアルゴリズムがあります）。量指定子の削除のこのプロセスの最後に、多項式時間で評価できる量指定子のない回路があります（回路値の問題は$\mathsf{P}$にあり、$CV$は与えられた回路の回路値を計算するための多項式時間アルゴリズムです） 。

ただし、この考えは機能しないことがわかります（ピーターが指摘したのと同じ理由）。

• ましょう$\varphi$定量化回路、（所与の定量化式に初期化）です。
• してみましょう$k$中の数量詞の数$\varphi$。

• $i$から$k$まで$1$ドゥー

  • してみましょう$\psi$ = $Qx_k \sigma(x_1,...,x_k)$最後の数量詞と数量詞のない部分です。

  • もし$Q = "\exists"$、

    1. 計算$C = Cook(A, |\sigma|, |x_1|+...+|x_k-1|, p)$、
    2. 回路Cの入力ビットを$\sigma$で置き換えます。 $C$
    3. φの$\psi$を$C$に置き換えます。 $\varphi$

  • もし$Q = "\forall"$、

    1. 検討$\psi$として$\lnot \exists x_k \lnot \sigma$、
    2. 計算$C = Cook(A, |\lnot \sigma|, |x_1|+...+|x_k-1|, p)$、
    3. 入力ビットを置換$\lnot \sigma$回路における$C$、
    4. 置き換え$\psi$と$\lnot C$で$\varphi$。
• $CV(\varphi)$計算して返します。

結果のアルゴリズムは多項式時間に見えます：多項式の多くのステップがあり、各ステップは多項式時間で計算可能です。ただし、これは正しくありません。アルゴリズムは多項式時間ではありません。

多項式時間アルゴリズムで多項式時間サブルーチンを使用することは、多項式時間です。問題は、サブルーチンによって返される値が元の入力で多項式サイズでない場合、一般にこれが真である必要はなく、サブルーチンから返される値に関する割り当てを行うと仮定することです。（TMモデルでは、多項式時間サブルーチンの出力をビットごとに読み取る必要があります。）ここで、アルゴリズム$Cook$から返される値のサイズは増加しています（与えられた入力のサイズの累乗になる可能性があります） 、正確な電力は$A$の実行時間に依存し、約$p^2(|input|)$、私たちが知っているので、以来という$A$線形時間より小さくすることはできません、$|output|$少なくとも$|input|^2$）。

問題は、次の簡単なコードに似ています。

• $x$与えられた場合、
• ましょう$n = |x|$、
• してみましょう$y = x$、
• 以下のための$i$から$1$まで$n$ DO
  • してみましょう$y = y^{|y|}$、（のすなわち連結$|y|$のコピー$y$）
• yを返す

$y = y^{|y|}$を実行するたびに y | $y$のサイズを2乗します。後$n$実行我々が有するであろう$y$であり$x^{2^n}$及び大き有する$n2^n$明らかに、入力のサイズの多項式ありません。

我々は唯一で定量式を検討しているとする$k(n)$数量詞交代を（ここで、$n$定量化された式の合計サイズです）。

仮定し$A$、時間で実行さ$p$（これまで除外されていない例えば線形時間）、そしておそらくより効率的にしている$Cook$アルゴリズムサイズの小さい回路出力$l(t)$の代わりに、$t^2$、そして我々 GET ExtCircuitSatアルゴリズムその時点で実行さ$(l\circ p)^{O(k)}(n)=\underbrace{l(p(l(p(\dots(l(p(n)))))))}_{O(k)\mbox{ compositions}}$。両方ある場合に$l$及び$p$線形であった（ただし、総係数と≥2）、我々は時間で実行アルゴリズムなるだろうΩを（N2K（N））とIFK（N）=Θ（N）をあろうΩ（N2N）$a\geq 2$$\Omega(n2^{k(n)})$$k(n) = \Theta(n)$$\Omega(n2^n)$ ブルートフォースアルゴリズムに似ています（これも、アルゴリズムの実行時間に線形サイズの回路を結果として得たアルゴリズムでCook-Levinを実行できると仮定したことに基づいています）。

I think this is because at each level of the PH, the number of alternations is a constant (i.e. independent of the input size), while in AP, the number of alternations can be unbounded (yet polynomial in the size of the input).