VC次元の推定

次の問題について何がわかっていますか？

収集所与関数の、最大のサブコレクションを見つける制約を受けるが、そのVC-寸法いくつかの整数のための。 $C$ $f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}$ $S \subseteq C$ $(S) \leq k$ $k$

この問題の近似アルゴリズムまたは硬度の結果はありますか？

— アーロン・ロス
ソース

関数は| S |を最大化するのに何の役割も果たさないようです。

— スレシュヴェンカト

関数の選択により、SのVC次元が決まります。問題は、VC次元の制約を条件として、できるだけ大きな関数のクラスを見つけることです。

— アーロンロス

そうですか。「ジオメトリランド」に変換すると、範囲のコレクションが与えられ（fは特性関数として機能します）、有界VC次元の最大のサブコレクションが必要になります。

— スレシュヴェンカト

質問に答える他の問題：Cはどのように表示されますか？Sauerの補題では、

可能な最大サイズは

であり、

1つの関数でも

ビットが必要であることがわかっています。

S

$S$

O (2^{n k})

$O(2^{nk})$

C

$C$

n

$n$

— スレシュヴェンカト

正しい。私は、あらゆる代表体制の結果に興味があります。

が

として表示されることを想像できます

行列、この場合、実行時間

（効率的な）（時間

ではありませんが、

ポイントのすべてのコレクションが粉砕されたかどうかを徹底的にチェックするために必要なものです）

の関数へのブラックボックスクエリアクセスだけでアルゴリズムの結果が可能であれば、さらに良いでしょう。

C

$C$

2^{n} \times | C |

$2^n\times |C|$

2^{n} \times | C |

$2^n\times |C|$

2^{n \times k}

$2^{n\times k}$

k

$k$

C

$C$

— アーロンロス

回答:

編集：元の問題である場合-hard近似するために組の数を示します。 $n^{1-\epsilon}$ $k=1$ $n$

デュアルハイパーグラフのは、エッジと頂点を交換し、そして発生率を維持することによって得られます。すべてのために（私たちはハイパーグラフは、そのデュアルIFF VC-次元1はクロス自由でいることに注意したときに問題を理解することが容易であるにおける、の少なくとも一つの）空です。 $P, Q$ $A$ $P \cap Q, P \backslash Q, Q \backslash P, (P \cup Q)^c$

双対性によって元の問題は、（のための）ハイパーグラフ所与、と等価であるの最大サイズを見つける、とクロスフリー。 $k=1$ $(V, \mathcal{S})$ $U \subseteq V$ $(U, \{S \cap U \mid S \in \mathcal{S}\})$

実際、この（デュアル）問題は、すべてのセットのサイズが2 である場合でも非常に困難です。その後、グラフであり、2 エッジパスを含まない誘導サブグラフの最大サイズの頂点サイズを探しています（グラフに少なくとも4つの頂点があると仮定すると、これが交差ペアが発生する唯一の方法であることがわかります。しかし、このプロパティは遺伝的であり、自明ではないため、FeigeとKoganの結果を使用して硬さを示すことができます。 $\mathcal{S}$

元の返信

デュアル問題（最大サイズを見つけるのデュアルVC-寸法ような 1以下である）内で近似することは困難である（ファミリーにのセット）。 $k=1$ $S$ $S$ $n^{1-\epsilon}$ $\Theta(n)$

この理由は、家族のデュアルVC次元ということであるすべてのために：以下が成り立つ場合に限っ1であるにおけるの少なくとも一方、は空です。（つまり、VC-dim = 1は、しばしばクロッシングフリーネスと呼ばれるものの二重です。） $A$ $P, Q$ $A$ $P \cap Q, P \backslash Q, Q \backslash P, (P \cup Q)^c$

独立したセットから、最大サイズのクロスフリーサブファミリーの計算に減らします。与えられたグラフハイパーグラフ構築ここで、いくつかのダミー素子用。各頂点のためのの、我々は、以下のセット追加に： $G=(V, E)$ $H=(X, S)$ $X = V \uplus E \uplus \{0\}$ $0$ $v$ $G$ $T_v$ $S$

{v} \cup {e ∣ e is an edge incident to v} .

$\{v\} \cup \{e \mid e \textrm{ is an edge incident to }v\}.$

これは、家族を示すために難しいことではありません交差フリーのときに限りで独立して。 $\{T_v\}_{v \in U}$ $U$ $G$

しかし、元の（主要な）問題については、さらに考えが必要なようです...おもしろそうです！

— daveagp
ソース

関連するいくつかの作業：表現のVC次元自体の推定（VC次元が制限された大きなサブコレクションの検索はもちろん）は、LOGNP完全です（LOGNPは、NP nの非決定性のnビットに制限されています）。範囲空間の表示がよりコンパクトな場合のVC次元の推定と概算に関する関連作業も少しあります（内部の参考文献も参照してください）

— スレシュ・ベンカット
ソース