問題教育の計算可能性

計算可能な関数の概念を教えるのは困難です。Hilbert / Ackermann / Godel / Turing / Church / ...のような研究者が「計算可能性」の概念を発明した理由の考えを発展させようとしました。学生たちはすぐに「計算可能性とはどういう意味ですか」と尋ねました。そして、チューリングマシンを教えるまで答えられず、「チューリングマシンが計算すれば関数は計算可能です」と答えます。

そう、

チューリングマシン、λ計算、または同様の計算モデルに頼る必要のない計算可能性の説明はありますか？直感的な説明でも十分です。

75年前、コンピューターはありませんでした。そのため、コンピューターの数学的アイデアを非常に慎重に説明する必要がありました。

今日、誰もがコンピューターが何であるかを知っており、おそらくほとんどの時間を持ち歩いています。これは、テープを備えたマシンというかなり時代遅れのアイデアをスキップできるため、教育で非常にうまく使用できます。つまり、誰がテープを使うのですか？（私はあなたがin辱されたと感じていることを知っています、そして、チューリングは偉大な人であり、すべてのものであり、あなたに同意します）。

クラスに足を踏み入れて尋ねるだけです。それでは、iPhoneで計算できないものはありますか。これにより、すぐに制限されたリソースについての質問が表示されます。あなたは言う：あなたのマシンが実際に無制限のメモリを持っていたと仮定すると、計算できないものはありますか？そして、もう少し理想化して、数論関数に注意を向けます（現時点ではFacebookに興味がないので）。コンピューターの仕組みを少し説明する必要があります（コメントに記載されているように、ハードウェアを記述する代わりにプログラミング言語を使用できるため、学生はプログラミング言語を知っていると良いでしょう）が、その後、計算可能性のすべての古典的な引数を使用できます結果を導き出す理論。生徒のマシンの心象がiPhoneであることは関係ありません。実際、それは重要です：iPhoneが特定のことを実行できないことを知るためにより関連性があります。

「関数は、入力から出力に進むための「効果的な手順」があれば計算可能です。」このトピックを紹介するとき、私は過去に彼ら（学生）が二次方程式を解くための効果的な手順を持っているが、5次以上の方程式を解くための手順を持っていないことを指摘しました。これは、「効果的な手順」をどのように形式化するかについての議論につなげることができますが、その議論はあなたが起こしたいものですので、それはバグではなく機能だと思います。

おそらくポイントは、これらのモデルのすべてが計算可能性の概念が何であるかをキャプチャすることを目的としたということです。それらのすべてが同等であるという事実は、彼らがキャプチャしようとしている概念が堅牢であることを意味します。したがって、これはジレンマを免れませんが、この堅牢性は、「関数を計算するチューリングマシンがあれば関数は計算可能」という概念に信gives性を与えます。

「コンピュータには納得のいく答えが得られないという質問はありますか？」そして、「木が森に落ちた場合、それは音を立てますか？」などの哲学的な質問に向けて議論をリードします または「来世はありますか？」私たちはすぐに、人間の言語は数学的に表現できないパラドックスや概念を含むyes / noの質問を表現できるというコンセンサスを得るので、計算できない質問があります。

それから、整数やグラフなど、コンピュータで表現できる概念について計算不可能な質問があるかどうかを修辞的に尋ねます。はい、1つの例は有名な停止問題です。これは、プログラムの説明を調べて、無限ループがあるかどうかを言うことです。直感的には、無限ループはブラックホールのようなものであり、無限ループを監視するプログラムは無限ループ自体に閉じ込められる可能性があります。したがって、その問題に答える手順は永遠に実行される可能性があるため、「アルゴリズム」の定義により、停止する問題に答えることのできるアルゴリズムはありません。

次に、チューリングマシンの証明に戻ります。

まあ、特定のパターンによって形成または生成される入力を受け入れる場合、関数は計算可能です。特定のパターンとは、すべての入力に関係があることを意味します。特定の入力は、前または次の入力によって生成できます。入力にこのタイプのシーケンスがない場合、受け入れることができるモデルまたは関数を開発する可能性はありません。もっと言いたいのは、機械と人間の間には基本的な違いがあるということです。非シーケンシャル入力用にマシンを形成することはできませんでしたが、人間はできます。また、これは実際の人間の動作ロボットの作成の大きな中断です。