FPT問題の難しさ

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頂点カバーは、独立セットに簡単に縮小でき、その逆も簡単です。

ただし、パラメータ化された複雑さのコンテキストでは、独立集合は頂点カバーよりも困難です。カーネルと頂点は頂点被覆のために存在しますが、独立したセットであるW 1ハード。 $2k$

FPTのコンテキストで独立セットの性質はどのように変化しますか？その理由は？

cc.complexity-theory parameterized-complexity fixed-parameter-tractable

— ニヒル
ソース

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答えの主なアイデア：パラメーター化された独立セットのインスタンスをパラメーター化された頂点カバーに減らすと、最終的にはパラメーターがグラフのサイズに依存し、入力パラメーターだけに依存しなくなります。さらに詳細に説明します。

ご存知のように、パラメータ化問題入力か否かを判断するアルゴリズムがある場合（均一）FPTであるに含まれている時に用いくつかの関数。 $Q$ $(x,k)$ $Q$ $f(k) |x|^{O(1)}$ $f$

グラフにサイズ頂点カバーがあるかどうかを判断するには、エッジを選択し、その2つのエンドポイントのどちらを頂点カバーに入れるかを分岐します。この分岐は、だけ深くなります（そうでない場合は、カバーの頂点）、および時間内に簡単に実行 ; したがって、頂点カバーはFPTにあります。 $G$ $k$ $k$ $k$ $O(2^k n^2)$ $k$

ここで、このアルゴリズムを使用して、パラメーター化された独立セットがFPTにあることを示したいとします。我々はグラフ与えられていると仮定上の頂点を、それがサイズの独立したセットがあるかどうかを決定したい。これは、かどうかのと等価であるサイズの頂点カバー有する。答えを計算するために、当社の上記のアルゴリズムを使用して、我々はそう時間。私たちのFPTアルゴリズムの場合、実行中の時間の指数関数であるパラメータに依存し得る、それがある入力の大きさに依存しないことがあり $G$ $n$ $\ell$ $G$ $n - \ell$ $O(2^{n - \ell} n^2)$ $\ell$ $n$ ; しかし、アプローチは、我々がでの使用時間指数スケッチ、したがって、パラメータに対するFPTパラメータない。これが、頂点カバーがFPTにあるという事実が、独立セットがFPTにあることを意味しない理由です。 $n - \ell$ $\ell$

— バート・ヤンセン
ソース

すべての返信をありがとう。パラメータ化された複雑さの文脈では、頂点カバーから推論して、独立集合の硬さを研究しようとするときのアイデアを理解しています。しかし、頂点カバーのコンテキストとは関係なく、Independent Setを参照する説明は見つかりませんでしたか？独立セットを見つけるのをより難しくする構造（または固有の性質）に何かがありますか？

— ニキル

バート、なぜ削減が希望どおりに機能するパラメータ

がないのですか？

k

$k$

— ラファエル

@Raphael：質問を明確にできますか？唯一の OPの質問で「許可」のパラメータは、それぞれのソリューションのサイズです。任意のパラメーターを許可する場合、削減が希望どおりに機能するものが多数あります（このフレーズを正しく理解した場合）：たとえば、両方の問題に対してパラメーターを「最小サイズの頂点カバーのサイズ」として保持すると、両方ともFPTです。Bartの引数によるMinVC、および同じ引数によるOPの縮約を使用したMaxIndSet。問題がW [1] -hardになるのは、MaxIndSetのパラメーターがそのソリューションサイズであると主張する場合のみです。

— -gphilip

あなたは私の質問を完全に理解しました！その意味で、OPの問題は不適切です。（パラメータ化されていない）問題とパラメータのペアのパラメータ化された複雑さについて話すことだけが理にかなっています。私は精神的に「forall」でギャップを埋めました。つまり、「for all

」の意味でバートの答えを読んで、それが間違っている/不完全であると思いました。したがって、私の質問。ところで、他の答えには同じ問題があります。どうやら、私以外の誰もが、標準的な選択でギャップを埋めています。

k

$k$

— ラファエル

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意味が何であれ、問題の「性質」が変わるとは言いません。変更されるのは、パラメータ、つまり問題の難易度を測定する方法だけです。

ほとんどのサイズの頂点被覆を持つグラフそれを効率的にサイズでそれらを低減することが可能だということに構成されています。私たちは、貪欲に最大でサイズの最大マッチングを見つけることができとグラフの残りの部分は、少なくとも大きさの独立したセットです。クラウン削減などの削減ルールを使用して、頂点の数を最大まで削減できます。 $k$ $k$ $n-2k$ $2k$

一方、最大でサイズの頂点カバーを持つグラフ（または、同等に、最大独立変数は少なくともサイズを）は、そのような単純な構造を持たないようです。あなたが指摘するように、これは正確にすることができます：それらの構造により、問題をエンコードすることができます。 $n-k$ $k$ $W[1]$

— ホルガー
ソース

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以下は、違いについてのいくつかの直観を与えるかもしれません。VSが独立集合である場合に限り、頂点SのサブセットはG =（V、E）の頂点カバーです。したがって、MVCが最小頂点カバーのサイズである場合、MIS = | V | -MVCは最大独立セット。Xでパラメーター化されたFPTアルゴリズムにより、Xの関数として指数ランタイムが可能になります。エッジ確率が半分のn頂点のランダムグラフは、サイズが約2lognのMISおよびサイズが約n-2lognのMVCを持っています。したがって、少なくともこれらのグラフでは、MVCによってパラメーター化されたFPTアルゴリズムは、MISによってパラメーター化されたものよりもはるかに多くの時間を許可します。

4

私は他の人が言ったことに同意しますが、これらのことを考えるときに役立つ別の方法は、問題を認識問題として再キャストすることです。つまり、「入力グラフは頂点カバーが最大kのグラフのファミリーに属しますか？」 /「入力グラフは、少なくともkの独立セットを持つグラフのファミリーに属しますか？」

直感的には、より制限されたグラフのファミリーは、より豊富で一般的なグラフよりも認識しやすいはずです。最大でk個の頂点カバーのグラフのファミリーは非常に制限されており、実際、各そのようなグラフは必要な通常のビットよりもはるかに少ないビットだけを使用して記述できます、kがnよりも大幅に小さいと仮定します。一方、少なくともk個の独立したセットのグラフのファミリは非常に豊富です。最大でエッジを削除することで、どのグラフもそれに属するように編集できます。 $O(k^2+2^k\log n)$ $O(n^2)$ $k^2$

私にとってこれは、小さな独立したセットよりも小さな頂点カバーを認識しやすいと期待する理由の1つです。もちろん、上記の考えが正式な議論に近いことは明らかであり、結局のところ、サイズkの独立したセットを認識するのが実際に難しいという最も説得力のある証拠は、独立したW硬さであると思いますセットする！

— マイケル・ランピス
ソース

グラフに

個の頂点の独立したセットを与えるのに

エッジの除去はどのように十分ですか私はあなたが必要だと思うだろう

k^{2}

$k^2$

k

$k$

エッジ削除あなたは、サイズの独立したセットを取得したい場合は

上に完全グラフで

の頂点。

(\binom{k}{2}) + k \cdot (n - k - 1)

$\binom{k}{2} + k \cdot (n - k - 1)$

k

$k$

n

$n$

— バートヤンセン

@Bart：の独立したセットについて

頂点、あなただけ何のエッジが存在しないことを確認する必要があり、これらの間に頂点、及び最大である

オーダーの（シンプル）のエッジ部分グラフ

。

k

$k$ $k$

k \cdot (k - 1) \leq k^{2}

$k \cdot (k-1) \leq k^2$

k

$k$

— マチューシャペル

3

これは非常に間接的な答えであり、あなたの懸念に完全に対応していないかもしれません。ただし、FPTとW階層は近似可能性と密接に関連しています（FPT問題にはPTASなどがよくあります）。そのコンテキストでは、VC = n-MISのグラフでは、VCの近似はMISの近似を与えないことに注意してください。これが、近似のためにL削減が必要な理由です。パラメータ化された複雑さについても同様の「カーネル保存削減」概念があると思います。

— スレシュ・ベンカット
ソース

FPTには「カーネル保存削減」という概念がありますか？

— ニキル

私は知りません：したがって、引用符:)。パラメーター化された複雑さの専門家が発言するのを待っています。

— Suresh Venkat

2

召喚しました！;）

— ラファエル

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P \leq_{p t p} Q

$P \leq _{ptp} Q$

(x, k)

$(x,k)$

P

$P$

(x^{'}, k^{'})

$(x', k')$

Q

$Q$

k^{'} \in k^{O (1)}

$k' \in k^{O(1)}$

P \leq_{p t p} Q

$P \leq_{ptp} Q$

Q

$Q$

P

$P$

Q

$Q$

P

$P$

O (2^{1 / ϵ} n^{k})

$O(2^{1/\epsilon}n^k)$ 、時間の複雑さ

O (n^{1 / ϵ})

$O(n^{1/\epsilon})$ 許可されていません。同じ結果がバズガンの論文にもあります。

— ジャンルカデラヴェドバ