PHの時間階層定理はありますか？

それは時間の多項式階層解けるに問題があることは事実であり、で解けるない（多項式階層のあるレベルでマシンをチューリング交互に）で多項式階層の任意のレベル？言い換えれば、PやNPのように多項式階層の時間階層定理は存在しますか？ある場合-リファレンスは素晴らしいでしょう。 $O(n^k)$ $O(n^{k-1})$

私が遭遇した難しさは、階層のすべてのレベルからマシンをシミュレートする場合、シミュレーションマシンが階層のどのレベルにも存在しないことです。これは関連する質問につながります-そのようなシミュレーションマシンが属する最小クラスは何ですか？代替（または /）をてクラスを定義する意味はありますか？ $O(n)$ $O(\log n)$ $O(\log \log n)$

— ジョセフ
ソース

数量化されたブール式はPSPACEに完全であるため、線形の交番を使用するとPSPACEが得られます。

— デリックストリー

回答:

はい。例えば、（直接的に任意のマシンをシミュレートすることによって）時間階層定理の通常の証明はすべてのためにあることを示すために使用することができる $c \geq 1$ 、 $\Sigma_c TIME[n^k]$ のサブセットではない $\Pi_c TIME[n^{k-1}]$ 。以下からの切り替えの理由 $\Sigma$ に $\Pi$ つまり、この対角化の引数では、シミュレートするマシンの「反対」を行う必要があるため、シミュレートするマシンが実在モードの場合はユニバーサルモードで実行する必要があります。

また、から切り替えることなく、このような結果を得ることができますに：すべてのために、のサブセットではありません。これは、ザックによる時間階層の証明を使用して行うことができます（参照：「Aチューリングマシンの時間階層」、Theoretical Computer Science 26（3）：327--333、1983）。時間階層定理のこのバージョンの明示的な参照については、ディーター・ファン・メルケベークを参照してください $\Sigma$ $\Pi$ $c \geq 1$ $\Sigma_c TIME[n^k]$ $\Sigma_c TIME[n^{k-1}]$ の「満足度と関連問題の下限の調査」（彼のホームページで利用可能）。

— ライアン・ウィリアムズ
ソース

この答えは、階層のすべての異なるレベルの時間階層定理の存在を非常に明確に示しています。これは、全体としてPHのそのような定理の存在をすぐに示すものではありません。

— ジョセフ

あなたの強い質問を肯定的に解決するのは難しいでしょう。

を意味します。ある仮定

と言語

における

にない

のすべてのための

。その後、

L O G S P A C E \neq N P

$LOGSPACE \neq NP$

c

$c$

L

$L$

Σ_{c} T I M E [n^{k}]

$\Sigma_c TIME[n^k]$

Σ_{d} T I M E [n^{k - 1}]

$\Sigma_d TIME[n^{k-1}]$

d

$d$

。これは、すべての言語からである

である

いくつかのために

に応じて

（Savitch-定理型引数によって）。もしそうであれば

におけるその後、実際にすべての言語

L O G S P A C E \neq N P

$LOGSPACE \neq NP$

L \in L O G S P A C E

$L \in LOGSPACE$

Σ_{d} T I M E [n^{2}]

$\Sigma_d TIME[n^2]$

d

$d$

L

$L$

L O G S P A C E = N P

$LOGSPACE = NP$

である

のためのいくつかの

あなたが見せたいものに矛盾し、。

Σ_{c} T I M E [n^{k}]

$\Sigma_c TIME[n^k]$

Σ_{d} T I M E [n^{2}]

$\Sigma_d TIME[n^2]$

d

$d$

— ライアンウィリアムズ

修正された質問（質問の改訂4）に対する答えは「いいえ」です。決定問題の場合、Lは時間O（に解けるあるN ^K Σによって）_I P機、その後LがためOracleとチューリングマシンによって線形時間で解くことができるL Σであり、_{I +1} P機。したがって、Σ _I TIME [O（N ^、K）]⊆Σ _{I +1}時間[O（N）]。

— 伊藤剛
ソース

No, this is not how the definition of

Σ_{j} T I M E [t (n)]

$\Sigma_j TIME[t(n)]$ works. If

Σ_{j} T I M E [O (n^{k})] \subseteq Σ_{j + 1} T I M E [O (n)]

$\Sigma_j TIME[O(n^k)] \subseteq \Sigma_{j+1} TIME[O(n)]$ for all

j, k

$j,k$ , then

N P \neq c o N P

$NP \neq coNP$ . If

N P = c o N P

$NP = coNP$ and

Σ_{j} T I M E [O (n^{k})] \subseteq Σ_{j + 1} T I M E [O (n)]

$\Sigma_j TIME[O(n^k)] \subseteq \Sigma_{j+1} TIME[O(n)]$ for every

j, k

$j,k$ , let

O (n^{c})

$O(n^c)$ be the running time of some nondeterministic algorithm for Tautology. Then we have

N T I M E [O (n^{c^{2}})] \subseteq Σ_{2} T I M E [O (n)] \subseteq N T I M E [O (n^{c})]

$NTIME[O(n^{c^2})] \subseteq \Sigma_{2} TIME[O(n)] \subseteq NTIME[O(n^{c})]$ , where the first inclusion is by assumption and the second inclusion follows from a standard simulation argument. This is a contradiction.

— Ryan Williams

@Ryan: The definition I used is: L∈ΣiTIME[t(n)] iff there exist a language O∈Σ(i−1)P and a nondeterministic t(n)-time Turing machine with the oracle for O that recognizes L. I thought that this is the standard definition, but I do not have any reference to back up my claim. What is the definition you are using?

— Tsuyoshi Ito

The definition is:

L \in Σ_{i} T I M E [t (n)]

$L \in \Sigma_i TIME[t(n)]$ iff there is a linear time predicate

R (x, y_{1}, \dots, y_{i})

$R(x,y_1,\ldots,y_i)$ such that

x \in L ⟺ (\exists y_{1} : | y_{1} | \leq t (| x |)) \dots (\forall y_{i} : | y_{i} | \leq t (| x |)) R (x, y_{1}, \dots, y_{i})

$x \in L \iff (\exists y_1 : |y_1|\leq t(|x|))\cdots (\forall y_i : |y_i| \leq t(|x|))R(x,y_1,\ldots,y_i)$ is true.

— Ryan Williams

@Ryan: Ok, I did not know that definition. If that is what the asker wanted to ask, my answer does not apply.

— Tsuyoshi Ito