ユニバース階層による遺伝的代替

Simple Lambda CalculusおよびLogical Frameworkの明確な用語とタイプを使用した遺伝的代替について読みました。

私は疑問に思っています、宇宙階層を持つ従属的に型付けされたシステムに遺伝的代替の例はありますか？すなわち、など。 $True : Set_0 : Set_1:Set_2$

私は特に、そのようなシステムで誘導対策を確立する方法を疑問に思っています。単純に型付けされたバージョンでは、置換される変数の型が構造的に減少しています。これは依存型では機能しません。LFでは、私がリンクした論文は単純に型付けされた用語の消去を使用して、型の形状の帰納を行います。

ただし、次のようなものがある場合、ユニバース階層では単純型への消去は機能しません。

$f : (x : Set_1)\to x \to True$ 、
$f\ ((y : True) \to True \to True ): True \to True \to True$

すなわち、関数を適用すると、構造的に大きな型になりました。

ソリューションはユニバースインデックスと関係があると仮定していますが、帰納法が十分に確立されていることを確立するための既存の手法がある場合は、自分で何かを考え出すよりもそれを引用することを好みます。

— jmite
ソース

回答:

ここの参照述語システムF.の尺度が実際にタイプ宇宙レベルのマルチセットを含んで。このアプローチが述語従属型理論に一般化するかどうかについてはあまり言えません。

— アンドラス・コヴァーチ
ソース

2018年11月現在、大規模な消去を伴う依存型理論に対してこれを行う方法は未解決の問題です。

再帰が十分に根拠のあるものであることを確立することはそれほど悪くありません。パタライアの定理を使用して、必要な不動点が存在することを証明できます。方法については、Robert Harperの* Operational Semantics上の型システムの構築を参照してください。（帰納的-再帰的定義を介してこれを行うこともできます。）

難しい部分は、実際に遺伝的置換をいい方法で定式化することです-自然な方向は、1つの用語ではなく、コンテキスト全体の置換にあなたを導きます。（遺伝的）置換の構成のように。

それが不可能であることが判明した場合、私は全くショックを受けるでしょう。しかし、現時点では誰もそれを行っていません。これに取り組みたい場合は、Andreas Abel、Dan Licata、Mike Shulmanと連絡を取ることをお勧めします。（または、私について）

— ニール・クリシュナスワミ
ソース

宇宙階層を持つ型理論の遺伝的代用定理の一貫性の強さは非常に強力ではありませんか？定理を行った後、理論の一貫性を導き出すために他に何が必要ですか？

— アンドレイバウアー

@NeelKrishaswami：宇宙の階層がなくても、それは未解決の問題だということですか？型理論について、正確にどれくらい正確に想定していますか？

— アンドレイバウアー

私は@AndrejBauerの混乱を2番目に言います：遺伝的置換の定義には、型の正しい用語を減らすための終了引数が暗黙的に含まれていませんか？単純な型の引数でも明示的にシステムF.ためと絶望的な（それは、このような順序は、SNのために存在するかどうかを開いている）も、システムTのための凝り性である置換が行わアウトされたときに減少ため、含まれているようだ

— コーディ

@AndrejBauer：遺伝的代入演算を書き留める場合、実際に関数と呼ぶ前にそれが終了することを証明する必要があります。直感的な境界のあるZFを使用して正規化するために、可算ユニバース階層を持つMLTTを表示できるため、終了の証明がそれほど難しくなることはほとんどありません。開いているのは、実際に遺伝的代用操作の正しい定義を与えることです。現時点では、それが難しい官僚的な問題なのか、それとも難しい問題なのかは不明です。私の予感は前者ですが、仕事をしなくても本当に言えるのは誰ですか？

— ニールクリシュナ

@Blaisorblade：ええ、大きな消去法を追加すると、理論の表現力が大きく飛躍します。大規模な消去を行ったら、一貫性/正規化を証明するメタ理論は、少なくとも帰納再帰をサポートする必要があります。

— ニールクリシュナ