実行時間がPとNPに依存するアルゴリズム

場合、このアルゴリズムは多項式時間で実行されず、場合、多項式時間で実行されるというプロパティを持つアルゴリズムの既知の明示的な例はありますか？ $P\neq NP$ $P=NP$

ds.algorithms np p-vs-np

— user2925716
ソース

並べ替え。もしP = NP、レビンのユニバーサル検索アルゴリズムを実行多項式時間でインスタンスを受け入れる上 en.wikipedia.org/wiki/...

— エミルJeřábekはモニカ・サポート

@Emil：P = NPの場合、P = coNPの場合、言語の補集合で同時にLevin検索を実行できますか？

— ジョシュアグロチョフ

@JoshuaGrochow言語をcoNPとして表現するには、まずNPのポリタイムアルゴリズムを知って、目的全体を打ち破る必要があります。

— EmilJeřábekは、

PA（またはZFC）でが証明可能であると仮定した場合、簡単な例は次のとおりです。 $P=^?NP$

Input: N   (integer in binary format)
For I = 1 to N do
begin
  if I is a valid encoding of a proof of P = NP in PA (or ZFC)
    then halt and accept
End
Reject

別の-自明ではない-仮定に依存しない例は次のとおりです。

Input: x   (boolean formula)
Find the minimum i such that
  1) |M_i| < log(log(|x|))  [ M_1,M_2,... is a standard fixed TM enumeration] 
  2) and  M_i solves SAT correctly 
       on all formulas |y| < log(log(|x|))
          halting in no more than |y|^|M_i| steps
          [ checkable in polynomial time w.r.t. |x| ]
  if such i exists simulate M_i on input x 
      until it stops and accept/reject according to its output
      or until it reaches 2^|x| steps and in this case reject;
  if such i doesn't exist loop for 2^|x| steps and reject.

の場合、アルゴリズムは - 入力で SATを解く多項式時間チューリングマシン（またはその埋め込みバージョン）のインデックスを見つけますそして、より大きいすべての入力に対して、それをシミュレートし続け、多項式時間で停止します（ステップ2は多項式時間でもチェックできることに注意してください）。つまり、の場合、アルゴリズムは有限数を除くすべてのインスタンスでSATを多項式時間で解きます。 $P =NP$ $x_0$ $M_{SAT}$ $O( |x| ^ { |M_{SAT}| })$ $x_0$ $P = NP$

場合、アルゴリズムは指数時間で実行されます。 $P \neq NP$

— マルツィオ・デ・ビアシ
ソース

「PA（またはZFC）でP = NPの証明の有効なエンコードであるかどうか」をどうすれば簡単に決定できますか？

— user2925716

@ user2925716多項式時間で実行できます（合理的な演システムで完全な証明を表す文字列であると想像してください）。

I

$I$

— マルツィオデビアーシ

背の高い仮定。

— ジルカハニカ

P≠NPの場合、無条件アルゴリズムのランタイムは（要求どおり）超多項式ですが、NPが指数ではなくごくわずかな超多項式である場合。アルゴリズムを変更してio-exponentialにすることができますが、P≠NPがP = NPを解くのと同じくらい難しい場合は、（io-exponentialとは対照的に）指数関数にすることができます。

— ドミトロTaranovsky

io-exponentialを使用して、無限に多くの入力サイズに対して指数関数を意味しました。io-exponentialは、入力サイズの変化に応じて、指数関数と非指数関数の間で変動する可能性があります。また、EmilJeřábekのコメントは正しいようです。証明可能に超多項式時間を取得するための修正（P≠NPの場合）は、常に少なくとも時間を使用することです。およびio-exponentialの場合-少なくとも

x^{| M_{i} |}

$x^{|M_i|}$

2^{x}

$2^x$