グラフの簡潔な回路表現

複雑度クラスPPAD（たとえば、さまざまなNash平衡の計算）は、END OF THE LINEでポリタイム還元可能な合計検索問題のセットとして定義できます。

行の末尾：回路を考えるとSとPとNの入力ビットとNような出力ビットP（0 ^、N） = 0 ^、N！= S（0 ^、nは）、入力された検索Xを {0,1}に^NようにP （S（x））！= x または S（P（x））！= x！= 0 ⁿ。

SやPなどの回路やアルゴリズムは、Papadimitrouの論文など、クエリごとにのみ明らかになる指数関数的に大きなグラフを暗黙的に定義します（PSPACEで問題を保持するために！）。

ただし、任意のグラフを有効にする回路をどのように設計するかはわかりません（グラフに体系的な構造がある場合、回路を見つけるのがはるかに簡単になります）。たとえば、ソース頂点にすべて0のラベルを付け、他のすべての頂点にバイナリラベルをランダムに割り当てた、指数関数的に長い有向線を表す多項式サイズの回路をどのように設計しますか？これは、PPAD関連の論文では暗示されているようです。

私がオンライン検索で最も近いのはGalperin / Widgersonの論文ですが、そこに記載されている回路は2つの頂点ラベルを取り、「これらの頂点は隣接していますか？」

それでは、nビットの入力を受け取り、その先行または後続のnビットのラベルをそれぞれ出力する、指数サイズのグラフの多項式サイズの回路をどのように設計しますか？または、誰かがこれをよく説明しているリソースを知っていますか？

あなたの質問は尋ねているようです：多項式サイズの回路として任意のグラフ（または任意のパスグラフ）をどのように表現するのですか？答えは、そうではありません。2 ⁿ頂点の異なるパスグラフの数は（2 ⁿ）！で、n ^cゲートの異なる回路の数（n ^c log nの指数）よりもはるかに多くなります。そのため、この多くの頂点を持つほとんどすべてのグラフは、簡潔な回路で表すことはできません。

したがって、ヒントとして、ある意味では、高度な構造を持つグラフのみがこの方法で表現できます。これが、PPADのような複雑なクラスを興味深いものにします。EOL問題への入力グラフが持つ必要があるとわかっている構造にもかかわらず、問題を効率的に解決するために構造を利用する方法を知りません。

私があなたの質問を誤解していて、本当にあなたが尋ねている場合：非常に高度に構造化されたグラフであっても、EOLの入力要件さえ満たす回路をどのように作成するのですか：頂点xを接続するパスグラフを試してくださいバイナリで）x-1およびx + 1に、ゼロおよび2 ^ n-1で終了します。または、EOLを解決するのが難しいと思われるささいなことをしたい場合：EとDをお気に入りの暗号システムの固定キーの暗号化および復号化関数とし、グラフ内のxの近傍をE（x）とDにします（x）、行の終わりを0およびD（0）にします。

n個の頂点上のほとんどのグラフはコルモゴロフ乱数であるため、グラフ自体よりも大幅に小さい回路（または他のプログラム）で記述することはできません。（コルモゴロフランダムの意味がわからない場合は、基本的に前の文の結論を定義として使用できます。その後、ほとんどすべての文字列がコルモゴロフランダムであるという事実に依存します。）

私はあなたが引用した作品に精通しているわけではありませんが、私の推測では、それらは常に回路によって記述されたグラフについて話していると思います。言い換えれば、回路に焦点を当てることで、彼らは本質的に簡潔な回路を持つグラフのクラスに注意を制限している（グラフのサイズは対数である）。