Sequent CalculusとNatural Deduction respにおける左の導入と含意の排除の対応について。

逐次計算（SC）と自然控除（ND）のそれぞれで、左の導入と含意の排除の対応について、直感的（直観的ではなく）に説明できる人はいますか？SCの対称性によってそれらが適切であることはわかっていますが、それらがどのように相互に対応しているかはわかりません。より一般的には、SCでの結合子の左の導入によって、NDでの結合子の除去が直感的にどのようにレンダリングされるかがわかりません。

計算用語では、シーケンシャル微積分項はラムダ項の逐次化です。つまり、型システムと見なすと、後続の計算はラムダ項の評価順序を与えると見なすことができます。

だから、と仮定、およびΓ ⊢ E 2：Aを。$\Gamma \vdash e_1 : A \to B$$\Gamma \vdash e_2 : A$

自然演繹では、含意の除去のための用語ですつまり、アプリケーション。しかし、注目すべきは、これは評価するかどうかを教えていないこと E 1第一又は E 2を最初に。$\Gamma \vdash e_1\;e_2 : B$$e_1$$e_2$

後続の計算では、対応する証明項の割り当ては次のようになります。

$$\mathsf{let}\; f = e_1 \;\mathsf{in}\;\mathsf{let}\;v = e_2\;\mathsf{in}\;\mathsf{let}\; x = f\;v \;\mathsf{in}\;x$$

そうでなければそれは次のようになります

$$\mathsf{let}\; v = e_2\;\mathsf{in}\;\mathsf{let}\;f = e_1 \;\mathsf{in}\;\mathsf{let}\; x = f\;v \;\mathsf{in}\;x$$

ここで、let-formはカットルールの使用に対応する証明用語であり、左のルールはすべて仮説/変数にのみ作用するため、これによりすべての中間結果を変数にバインドする必要があります。この要件により、最初にまたはe 2のどちらを減らして変数にバインドするかを明示的に言わざるを得なくなります。$e_1$$e_2$

純粋に関数型の言語の場合、この明示性は重要ではありませんが、エフェクトを追加すると、後続の計算での作業が容易になります。これが、制御効果/古典論理の結石のようなものが通常、後続の結石として提示される理由です。

要約すると、NDでは、結合子を削除することで、その使用方法がわかります。

$A \wedge B$
$---$
$A$

$A \wedge B$
$---$
$B$

$A\wedge B$$A$$B$

同様に、SCでは：

$\Gamma,A\vdash \Delta$
$------$
$\Gamma,A\wedge B \vdash \Delta$

$\Gamma,B\vdash \Delta$
$------$
$\Gamma,A\wedge B \vdash \Delta$

$A$$B$$A\wedge B$$A$$B$

一般に、SCの左の導入ルールは、コネクティブをいつ使用できるかを示し、NDの除去ルールは、コネクティブの「使用方法」を示します。

さて、含意のために、私たちはNDで次のようにしています：

$A \rightarrow B$       $A$
$------$
$B$

SC：

$\Gamma \vdash A,\Delta$       $\Sigma,B\vdash \Pi$
$----------$
$\Gamma,\Sigma, A\rightarrow B \vdash \Delta,\Pi$

$\Delta$$\Sigma$

$\Gamma \vdash A$       $B\vdash \Pi$
$-------$
$\Gamma, A\rightarrow B \vdash \Pi$

$\Gamma$$A$$B$$(\Pi)$$A\rightarrow B$$\Pi$