2つの単語に言語のインターリーブがあるかどうかを確認する複雑さ

あるアルファベットAの固定言語について、L -INTERLEAVINGと呼ぶ次の問題を考えてみましょう。$L$$A$$L$

• 入力：二つの単語$u, v \in A^*$
• 出力：そこに存在するかどうかをインターリーブのとVであるLが。$u$$v$$L$

ここで、インターリーブ二つの単語のは、およびVは、単語であるWの文字取ることによって直感的に得ることができ、U及びVをその相対的な順序を維持したまま。形式的には、wはuとvのインターリーブであり、1つはuに等しく、もう1つはvに等しい2つの互いに素なサブシーケンスに分割できます。たとえば、「bheleloll」は「hello」と「bell」のインターリーブです。$u$$v$$w$$u$$v$$w$$u$$v$$u$$v$

言語Lに応じて、 -INTERLEAVING問題の複雑さはどのくらいですか？$L$$L$特に：

• が規則的である場合、クラスNLにあることを示す2つの文字列の動的アルゴリズムで問題を解決できます。一部の通常の言語ではNLハードですか？ただし、一部の通常の言語では、問題は明らかにL（確定的ログスペース）にあります。問題がLにある言語の特徴はありますか？$L$
• が正則でない場合でも、Lが多項式のオンラインの確定的空間複雑性を持っている場合、問題はNLのままです（この概念についてはここを参照、または私の以前の質問を参照）。ただし、これは、たとえばすべての文脈自由言語を網羅しているわけではありません。それでも、他のいくつか（たとえば、回文）はNLであると示すこともできます（たとえば、動的アルゴリズムを最初と最後から同時に実行することによって）。Lインターリーブの問題がNP困難である文脈自由言語はありますか？$L$$L$$L$

Wordのと二つの整数のためのI 、Jと1 ≤ I ≤ J ≤ ℓ我々はによって表すワット（I 、J ）サブワードワット私ワットI + 1 ... W Jのワット。さらに、私たちは聞かせてwは（0 、0 ）空の単語を表します。$w=w_1\ldots w_{\ell}$$i,j$$1\le i\le j\le \ell$$w(i,j)$$w_iw_{i+1}\ldots w_j$$w$$w(0,0)$

• ましょうとV = V 1 ... V nは、検討中の二つの単語です。$u=u_1\ldots u_m$$v=v_1\ldots v_n$
• 文脈自由言語は、チョムスキー標準形の文脈自由文法によって指定されていると仮定します。$L$

状態が次のように指定される動的プログラムを作成します。$[i,j,r,s,A]$

• 二つの整数と1 ≤ I ≤ J ≤ MまたはI = J = $i,j$$1\le i\le j\le m$$i=j=0$
• 二つの整数は、で1 ≤ R ≤ S ≤ N又はR = S = $r,s$$1\le r\le s\le n$$r=s=0$
• 文脈自由文法における非終端記号$A$

すべての状態について、文脈自由文法に非終端で始まり、2つの単語u （i 、j ）とw （r 、s ）のインターリーブで終わる派生があるかどうかを判断します。この決定は、状態が正しい順序（長いサブワードの前に短いサブワード）で処理される場合、簡単に行うことができます。$A$$u(i,j)$$w(r,s)$

全体として、これにより、コンテキストフリー言語Lのインターリーブ問題の多項式時間アルゴリズムが生成されます。$L$$L$